一、填空题：
1.向量均为非零向量， ,则向量的夹角为。
abcd.
2.已知，则
abcd.
3.在正方体中，为棱的中点，为棱上的点，且，则异面直线与所成角的正弦值为。
abcd.
4.为虚数单位，设复数满足，则的最大值是。
abcd.
5.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若边所在的直线方程是，则抛物线的方程是。
abcd.
6.在正三棱柱中，底面边长和侧棱长均等于2,且为的中点，则点到平面的距离是。
abcd.
7.若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是。
abcd.
8.如图，内接于圆，过中点作平行于的直线交于，交圆在点处的切线于，若，则的长为。
abcd.
9.数列共有11项， ,且满足这种条件的不同数列的个数为。
a.100b.120c.140d.160
10.设是坐标平面按顺时针方向做角度为的旋转，表示坐标平面关于轴的镜面反射，用表示变换的复合，先做，再做，用表示连续做次的变换，则是。
abcd.
二、解答题：
11.设数列满足。
ⅰ)设。证明：若，则成等比数列；
ⅱ)若，求实数的值。
12.在中，是的角平分线，且。
ⅰ)求的取值范围；
ⅱ)若，问为何值时，最短？
13.已知椭圆的两个焦点为，且椭圆与直线相切。
ⅰ)求椭圆的方程；
ⅱ)过作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于及，求四边形面积的最大值与最小值。
14.一袋中有个白球和个黑球，从袋中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该球不放回，另补一个白球放到袋中，在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为。
ⅰ)求。ⅱ)设，求。
ⅲ)证明：.
15.(ⅰ设，求；
ⅱ)设，求常数，使得取得最小值；
ⅲ)记(ⅱ)中的最小值为，证明：.
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2011 卓越联盟。2011 年同济等九校 卓越联盟 自主招生试题。数学。1 向量 a,b 均为非零向量，a 2b a b 2a b 则 a,b 的夹角为 abc 2 d 5 解由条件有 a 2 2a b b 2 a b 记 a,b 的夹角为 则。a 2 2a b 2 a 2 cos 2 已知sin...
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自主招生试题。数学。1 向量 a,b 均为非零向量，a 2b a b 2a b 则 a,b 的夹角为 abc 2 d 5 2 已知sin 2n sin 2 则 tan tana n 1 b n 1n n 1 c nn 1 d n 1 n 13 在正方体 abcd a1b1c1d1 中，e 为棱 aa...