自主招生试题。
数学。1) 向量 a, b 均为非零向量， (a - 2b) ⊥a , b - 2a) ⊥b ，则 a, b 的夹角为( )
abc) 2π .d) 5π .
2) 已知sin 2n sin 2β ，则 tan
tana) n -1 . b)
n + 1n
n + 1 (c)nn -1
(d) n + 1 .
n -13) 在正方体 abcd - a1b1c1d1 中， e 为棱 aa1 的中点， f 是棱 a1 b1 上的点，且。
a1 f : fb1 = 1 : 3 ，则异面直线 ef 与 bc1 所成角的正弦值为。
a) 15 . b) 15 . c) 5 . d) 5 .
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解二取 a1 d1 的中点 g , 连接 fg , eg ,则 eg //bc1 . 设正方体的棱长为 4, 则。
fa1 f = 1 ,a1e = 2 ,a1g = 2 , 从而 ef = a1
fg =5 , eg = 2 2 . 记等腰 feg 底。
边中点为 h , 则 eh =
2 , fh = 3 , e c
从而sin ∠feh =
a d4) i 为虚数单位，设复数 z 满足 z = 1，则。
z 2 - 2z + 2
z -1 + i
的最大值为。
a) 2 -1 . b) 2 -
2 . c) 2 + 1 . d) 2 + 2 .
解由于 z 2 - 2z + 2 = z -1)2 - i2 = z -1 + i)( z -1 - i) ,所以。
z 2 - 2z + 2
z -1 + i
z - 1+ i)
为圆 x2 + y 2 = 1上点到 (1,1)的距离。 显见当 x = y =
1 时， 最大距离为1 + 2 .
5) 已知抛物线的顶点在原点， 焦点在 x 轴上，abc 三个顶点都在抛物线上， 且。
abc 的重心为抛物线的焦点 f ，若 bc 边所在直线的方程为 4x + y - 20 = 0 ,则抛物线方程为。
a) y 2 = 16 x . b) y 2 = 8x . c) y 2 = 16 x . d) y 2 = 8x .
解 bc 边与 x 轴交点为 (5,0) ，可设 y 2 = 2 px ， p > 0 . 设。
y ba( x1 , y1 ) b( x2 , y2 ) c ( x3 , y3 ) 由 a
x8x2 - p + 80) x + 200 = 0
4x + y - 20 = 0 f d
y2 = 2 px
py2 + y -10 p = 0 c
p p p
知 x2 + x3 = 10 ,y2 + y3由于 f
0 , 依条件有。
x1 + x2 + x3 = p ,y1 + y2 + y3 = 0
x = 11 p -10, y p .
p由 2 p
p - 10 解得 p = 8 , 故抛物线方程为 y 2 = 16 x .
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6) 在直三棱柱 abc - a1b1c1 中，底面边长与侧棱长均等于 2 ，且 e 为cc1 的中。
点，则点c1 到平面 ab1e 的距离为。
a) 3 . b) 2 . c)
3 . d) 2 . z
2 2 c解一设c1 (0,0,0) ，b1 (0,2,0)，a(
3,1,2)，e(0,0,1) .平。
a e bx y - 2 z c1
b1面 ab1e 的方程为 3
1 2 = 0 ，即。
x a1 y
3x -3 ( y - 2) -2 3z = 0 .
点c 到平面 ab e 的距离为 d = 2 3 = 2 .
a1 b1解二由于 aa1 = 2ec1 , 故点 a1 和点 c1 到平面 ab1e 的。
距离之比为 2 :1 . 设 a1 b 和 ab1 交于点 o , 连接 eo .
显见 eo 垂直平面 abb1 a1 , 且 a1o ⊥ ab1 , 故 a1o 垂直。
平面 ab1 e , 从而 a1o =
2 为 a1 到平面 ab1e 的距离， a b
故c1 到平面 ab1e 的距离为 . c
7) 若关于 x 的方程。
xx + 4
kx2 有四个不同的实数解，则 k 的取值范围为( )
a) (0 , 1) .b) (1 , 1) .c) (1d) (1
解易见， k ≠ 0 ，且 x = 0 是解。
当 x > 0 时，方程 x2 + 4x - 1 = 0 最多只有一个正根。 要有一个正根，必须。
k16 + 4 > 0 且 k > 0 ；
k当 x < 0 时，方程 x2 + 4x + 1 = 0 要有两个负根，必须16 - 4 > 0 且 k > 0 .
综合有 k ∈ 1
k k共 9 页第 3 页。
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8) 如图，abc 内接于圆 o ，过 bc 中点 d 作平行于 ac 的直线l ，l 交 ab 于 e ，交圆 o 于 g 、 f ，交圆o 在 a 点处的切线于 p ，若 pe = 3, ed = 2 , ef = 3 ，则 pa 的长为。
a) 5 . b) 6 . c) 7 . d) 2 2 .
解由弦切角定理知 ∠pae = c = edb , 故 pae bde ，从而。
be2 = be ae = pe ed = 6
由相交弦定理有。
be ae = ge fe = 3ge
be = 6 . lp ag
ge = 2 .
再由切割线定理有。
pa2 = pg pf = 6
e opa = 6 . cbf
9) 数列 共有 11 项， a1 = 0 ， a11 = 4 ，且 ak +1 - ak
1 , k = 1, 2,..10 ，满足。
这种条件的不同数列的个数为。
a) 100. (b) 120. (c) 140. (d) 160.
解令bk = ak +1 - ak ，则bk = 1 ，且 b10 + b1 = a11 - a1 = 4 ，故b1 , b10 中有 7 个。
1, 3 个 -1，从而这样的数列有c 3
120 个。
10) 设σ 是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为 2π 的旋转，τ 表示坐标平面关。
于 y 轴的镜面反射。 用σ τ表示变换的复合， 先做τ ,再做σ ,k 表示连续。
k 次σ 的变换， 则σ 4 τ 3 τ 2 τ 是。
a) σ4 . b) σ3 . c)τ 2 . d) σ2 τ
解一设 a 点的极角为θ ,a) 的极角为θ -2π ,7
( a) 的极角为 π 可验证。
4 τ 3 τ 2a) 的极角为 -θ3π ,而σ 2 τ a) 的极角也为 -θ3π .
解二易验证τ 2 = i因此。
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11) 设数列 满足 a1 = a ， a2 = b ， 2an + 2 = an +1 + an .
1) 设 bn = an +1 - an ，证明：若 a ≠ b
则 是等比数列。
2) 若 lim(a1 + a2an ) 4 ，求 a, b 的值。
n→∞解 (1)
2an + 2 = an +1 + an an + 2 - an +1 =
an +1 - an )，即bn +1 =
2 bn .
当 a ≠ b
时，b1 = b - a ≠ 0 ，因此 是等比数列。
2) 由 lim(a1 + a2an ) 4 可得 a ≠ b
n→∞若 a = b , 则 an = a, n = 1, 2, )故。
b = n -1
b - a) .从而。
n-1n- 2
n- 1an+1 = an
b - a ) an-1 +
b - ab - a )
n -1
= a1 + b - a )
a + 2 (b - a) 1 - 1 .
由条件知 lim an = 0 , 故两边取极限得到 0 = a +
n→∞b - a), 即 a + 2b = 0 , 于是。
a = a + 2b - 2b - 1
n n-1 b得到。n+1
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2024年“卓越联盟”自主招生数学试卷
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