1.（2016全国高考新课标ⅱ卷· 理数14t），是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：
如果，，，那么．
如果，，那么．
如果，，那么．
如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等．
其中正确的命题有。(填写所有正确命题的编号）
答案：②③2. （2016全国高考新课标ⅰ卷· 文数11t或者理数11t）平面过正方体的顶点a， /平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（ ）
abcd.
答案：a试题分析：如图，设平面平面=，平面平面=，因为平面，所以，则所成的角等于所成的角。
延长，过作，连接，则为，同理为，而，则所成的角即为所成的角，即为，故所成角的正弦值为，选a.
3.（2016全国高考新课标ⅰ卷· 文数18t）（12分）如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点p在平面abc内的正投影为点d，d在平面pab内的正投影为点e，连结pe并延长交ab于点g
ⅰ）证明：g是ab的中点；
ⅱ）在答题卡第（18）题图中作出点e在平面pac内的正投影f（说明作法及理由），并求四面体pdef的体积。
解析：（ⅰ因为在平面内的正投影为，所以。
因为在平面内的正投影为，所以。
所以平面，故。
又由已知可得，，从而是的中点。
ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影。
理由如下：由已知可得，，又，所以，因此平面，即点为在平面内的正投影。
连接，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心。
由（i）知，是的中点，所以在上，故。
由题设可得平面，平面，所以，因此。
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得。
在等腰直角三角形中，可得。
所以四面体的体积。
4.（2016全国高考新课标ⅰ卷· 理数18t）(本题满分为12分)
如图，在以a，b，c，d，e，f为顶点的五面体中，面abef为正方形，af=2fd，，且二面角d-af-e与二面角c-be-f都是．
ⅰ）证明平面abefefdc；
ⅱ）求二面角e-bc-a的余弦值．
解：（ⅰ由已知可得，，所以平面．
又平面，故平面平面．
ⅱ）过作，垂足为，由（i）知平面．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．
由（i）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，
由已知，，所以平面．
又平面平面，故，．
由，可得平面，所以为二面角的平面角，从而可得．
所以，，，设是平面的法向量，则。
即，所以可取．
设是平面的法向量，则，同理可取．则．
故二面角的余弦值为．
5．（2016全国高考新课标ⅱ卷· 文数19t）（本小题满分12分）如图，菱形的对角线与交于点，点，分别在，上，，交于点，将沿折到的位置．
ⅰ）证明：；
ⅱ）若，，，求五棱锥的体积．
试题分析：（ⅰ证再证（ⅱ）根据勾股定理证明是直角三角形，从而得到进而有平面，证明平面根据菱形的面积减去三角形的面积求得五边形的面积，最后由椎体的体积公式求五棱锥体积。
试题解析：（ⅰ由已知得，
又由得，故。
由此得，所以。
五边形的面积。
所以五棱锥体积。
考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积。
6.（2016全国高考新课标ⅱ卷· 理数19t）（本小题满分12分）
如图，菱形abcd的对角线ac与bd交于点o，，，点e，f分别在ad，cd上，，ef交bd于点h.将△def沿ef折到△的位置。
）证明：平面abcd；
）求二面角的正弦值。
ⅰ）证明：∵，
四边形为菱形，．，
又，．又∵，面．
ⅱ）建立如图坐标系．，设面法向量，由得，取，．
同理可得面的法向量，．
7.（2016全国高考新课标ⅲ卷· 文数19t）（本小题满分12分）
如图，四棱锥p-abcd中，pa⊥底面abcd，ad∥bc，ab=ad=ac=3，pa=bc=4，m为线段ad上一点，am=2md，n为pc的中点。
ⅰ）证明mn∥平面pab;
ⅱ）求四面体n-bcm的体积。
解：（ⅰ由已知得，取的中点，连接，由为中点知3分。
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是。
因为平面，平面，所以平面6分。
ⅱ）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为。 .9分。
取的中点，连结。由得，.
由得到的距离为，故。
所以四面体的体积12分。
8.（2016全国高考新课标ⅲ卷· 理数19t）（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，地面，，，为线段上一点，，为的中点．
i） 证明平面；
ii） （ii）求直线与平面所成角的正弦值。
答案】（ⅰ见解析；（ⅱ
设为平面的法向量，则，即，可取，于是。
考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．
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