初中数学新课程标准解读。
第一讲。一、正确理解用字母表示数的意义。把握好第一次思想的飞跃。
用字母表示数的思想和方法，是人们认识事物从具体到抽象的又一次飞跃，从“数”到“式”的研究是从算术跨越到代数的关键一步．用字母表示数是代数学的基本思想之一，它将伴随着代数学习的始终．因此，深刻理解用字母表示数的意义，掌握用字母来表示数的规律和方法，对于进一步学习是十分重要的．
1．用字母表示数能够简明、深刻地反映事物的规律及其本质特征，具有简捷、普遍的优越性。
例如：我们可以用字母来表示乘法分配律， a(b+c)=ab+ac其中 a、 b、 c分别表示任意的有理数．
2．用字母表示数具有辨证性，它既具有确定性，又具有任意性生。
比如当 a=3时，它就表示 a在研究的某个具体问题中等于 3，这时字母 a的值是确定的；又如 a-6表示比 a小 6的一切数，这里的 a可以表示任意的有理数，因此它具有任意性．下面我们就用字母表示数的方法来研究例题：
例1 已知 a是一个整数，试用 a表示三个连续整数的和，并说明 3个连续整数的和有什么特征．
分析：相邻的两个整数之间存在着这样的关系——即相邻的两个整数之差等于 1，我们设较小的整数为 a，与它连续的两个整数分别是 a+1和 a+2．如果设中间的那个整数为 a，这三个连续整数就分别是 a-1， a， a+1．
解：设这三个连续整数分别为。
a-1， a， 1+1，那么它们的和可以表示为。
1-1)+a+(a+1)= 3a
当 a表示三个连续整数中的中间那个数时，它们的和为 3a .它是 3的倍数．
例2 一个两位数，把个位上的数与十位上的数对调得到一个新的两位数，请你判断新的两位数与原来的两位数的差有什么特点，并说明道理．
解：设原两位数十位上的数是 a，个位上的数为 b，那么原来的两位数是 10a +b，数字对调后得到的新的两位数是 106+a，其中 a， b是 1-9中的任意整数．
根据题意，得。
新的两位数一原来的两位数。
(10b+a)-(10a+b)
9b -9a
9(b-a)
显然它是 9的倍数，必能被 9整除．
例3 如图所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图，则第 n个图形中需用黑色瓷砖块． (用含 n的代数式来表示 )
分析：首先来看这个图形，第一个图形、第二个图形、第三个图形都是具体的铺好了黑色瓷砖的图形，具体的数一数得到下面的特点。
1)图中有黑色瓷砖 12块→ 12=3× 4=(1+2)× 4
2)图中有黑色瓷砖 16块→ 16=4× 4=(2+2)× 4
3)图中有黑色瓷砖 20块→ 20=5× 4=(3+2)× 4
要知道瓷砖的块数与图形的序数， z之间的关系，就需要对 3、 4、 5进行进一步的变形，用序列号 1、 2、 3来表示，这样 12可以写成 3× 4=(1+2)× 4， 16又可以写成 4=(2+2)× 4， 20又可以写成 5× 4=(3+2)× 4，你是否注意到 1、 2、 3恰好是图形的序列号 ?而 2、 4在各图中都是确定的．因此可以概括出第 n个图中有 (n+2)× 4=4n+8(块 )黑色的瓷砖．
答： (4n+8)．
在处理这样的问题时，要注意从具体的，个别的情况分析起．从中进行归纳，在归纳时要抓住每个情况中反应的数量关系与序号之间的关系再进行概括，在概括和比较中得到问题的解答．
例4 对于任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以 3然后加上 1，多次重复这种操作运算，运算的结果最终会得到一个固定不变的数 a，它会掉入一个数字“陷阱”，永远也逃不出来．请你想一想最终掉入“陷阱”的这个固定不变的数 a是几呢 ?
分析：这是一个很抽象的问题，可以从具体数做起进行实验．
如用 89来试一试。
看这个“陷阱”终于出现了。
解：这个固定不变的数 a是 13．
二、注意数形结合，借助数轴可以做到由数想形定位置，由形想数定符号。
数轴，是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线 (如图 1)．直线是一种简单的图形．要注意数轴是具有三要素——原点、方向、单位长度的直线 .一般情况下，我们把水平放置的向右的方向定为正方向，因此原点左边的点表示的数为负数，原点右边的点表示的数是正数，在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
例1 用“ >号按由大到小的顺序把 -2 ， 3． 2， 0， -3 ， 0． 5， +1连接起来．
解：将 -2 1/2， 3． 2， 0， -3 3/4， -0． 5， +1在数轴上表示。
例2 求大于一 2小于 5的所有整数．
解：大于一 2且小于 5的所有整数为 -1， 0， 1， 2， 3， 4．
注意：由于要求大于- 2小于 5的整数，所以不包括- 2和 5，在数轴上标出这两个点时，要用圆圈除去．
例3 如果 a， b， c三个有理数在数轴上的对应点如图所示，其中 0是原点，且。
a|=|c|
1)用“ <把 a， b， c连接起来；
2)判断 a+b与 b+c的符号．
解： (1)因为“数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大”所以： b(2)从数轴上看出表示 a， b的点均在原点左边，即 a<0， b<0， a+b是两个负数相加，所以 a+b符号为负； c在原点的右边，即 c>0，由 |a|=|c|知 |b|>|c|，可知 b+c是一个负数与一个正数相加，且负数绝对值较大，所以 6+c的符号也为负．即 a+b<0， b+c<0．
例4 如果 a<0， b>0，且 |a|>|b|，试用数轴上的点表示 a， b， -a， -b的位置，然后比较它们的大小，并用“ <号连接．
解：因为 a<0， b>0， |a|>|b|，所以 a， 6， -a， -b在数轴上表示如图：
a<-b例5 已知有理数 a， b， c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列式子正确的是 (
0 bc d． ab>ac
答：应该选 d
例6 解不等式组：
分析：不等式组的解集是组成不等式组的几个不等式的解的集合．我们可以先分别求出第一个不等式和第二个不等式的解，然后把它画在数轴上，再找出这些不等式的解集的公共部分．
解：解不等式①，得。
x≤ 2．解不等式②，得。
x>我们看到两个解的公共部分是到 2之间的部分，所以不等式的解集是 例7 解不等式： |x|>5．
分析：由 |x|绝对值符号的意义可以知道， |x|>5表示绝对值大于 5的一切数，一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点与原点的距离．因此，在数轴上看 |x|>5的解的范围就是所有与原点的距离大于 5的点的集合．
解： |x|>5的解是。
x>5或 x<-5
例8 解不等式： 4(|x|-1)≤ 2|x|-1．
分析：把含有绝对值符号的部分看成一个整体．利用不等式的基本性质把它转化成 |x|>a或 |x|4|x|-4≤ 2 |x|-1．
移项，得。4|x|-2|x|≤ 1+4．
合并同类项，得。
2|x|≤ 3．
所以 |x|≤
即 -3/2≤ x≤
由于解集中包括 - 和的点，所以用实心圆点来表示．
反思：1)求 |x|≤ 的解集是分两步求的，首先在数轴上表示 |x|≤要的解集，然后再根据数轴上点的范围，用不等式表示 x的解集：
2)由例 6、例 7可以看出，在 |x|>a(a>0)时，解集由两部分 x>a和 x<-a组成；在 |x|0)时，解集由 -a这句话也可以用一句小口诀来表示“大于在两边，小于在中间”．
3)在解集中包含的部分用实心来表示，不包含的用空心表示．
例9 a、 b两地相距 432千米，慢车从 a地出发，每小时行驶 48千米：快车从 b地出发，每小时行驶 60千米．
1)两车同时开出相向而行，出发后多少小时相遇 ?
2)两车相向而行，慢车先于快车 45分钟开出，快车开出后多少小时两车相遇 ?
3)两车同时开出，同向而行，慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车 ?
在求解这样的应用问题时，可以借助于画图分析，来得到较简捷的解答．比如第一小问：
分析： (1)解决行程可以利用图示或列表进行分析．
慢车行驶的路程 +快车行驶的路程 =432．
注意：两车异地同时出发，相向而行，相遇时两车所用时间相同，设两车行驶 x小时相遇．这样慢车所走过的路程表示为 48x千米，快车所走过的路程表示为 60x千米，慢车行使的路程 +快车行使的路程 =432千米．
解：设两车行驶 x小时相遇，根据题意，得。
48x+60x=432
解这个方程，得 x=4
答：两车开出后 4小时相遇．
2)两车相向而行，慢车先于快车 45分钟开出，快车开出后多少小时两车相遇 ?
分析：解：设快车开出后 x小时两车相遇，根据题意，得。
48× +48x+60x=432．
解这个方程，得 x=3 ,答：快车开出后 3小时 40分两车相遇．
3)两车同时开出，同向而行，慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车 ?注意：异地同时出发追及问题，两车路程之差等于两地之间的距离．
分析：解：设两车开出后 z小时快车追上慢车，根据题意，得。
60x-48x=432．
解这个方程，得 x=36．
答：两车开出后 36小时，快车追上慢车．
我们画图形来分析快车，慢车行使的路线和 a， b距离，可以给解题提供方便，所以在解应用问题的时候也要常常画图，借图分析出来关系．
例10 甲骑自行车，每小时行 12公里；乙步行，每小时走 3公里，两人围绕周长为 60公里的湖堤行走．
1)两人同时相背而行，乙先走 5小时，甲走几小时与乙相遇 ?
2)两人同时同地同向行走，经过几小时相遇 ?
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