极值问题分析2
1．如图所示，一条平直的河流宽为80m，河水流速为8 m/s，一人驾驶一动力渔船，欲从河岸的a点渡河到对岸 ，已知在a点的下游60 m处有一与河岸垂直的瀑布，人欲安全渡河，渔船的最小划行速度为多少？
船速大小为6.4m/s ，方向与河岸成θ=370
解析：如图所示，欲使船安全渡河，则船在河中合速度v的极限方向是指向瀑布边缘与对岸的交点b，由于v是水流速v0与船速v1的合速度，由速度矢量三角形**0c可知，只有v0c与ab垂直，即船速v1与ab垂直时v1才最小。
设 v1与河岸夹角为θ，则。
v1=v0cosθ
而在δabd中cosθ=
将v0=8m/s bd=80m ad=60m 代入解得。
v1=6.4m/s θ=370
2．质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数μ= 当物体在地面上做匀速直线运动时，需要加一个外力f，此力的最小值为多少？方向如何？
解析：(1)用函数法求解：设所加的拉力f与水平方向的夹角为θ，受力如图所示。则。
f cosθ-μfsinθ)=0.
即f= 而μ==tan300
则 f===
当θ=300 f最小，最小值为fmin=μ㎎cos300 =㎎
(2)用**法求解：物体相对地面滑动时，满足摩擦定律=fn。 即=。
设与n的合力为f1，则不论支持力n如何变化，摩擦力与支持力n的比值不变， 如图所示中的θ不变。题中tan300 .
本题中物体的受力可做如下等效变化：重力㎎、支持力与摩擦力的合力。
f1、拉力f，如图所示：
由于f1与f的合力f2总与㎎等大反向且f1的方向不变，由矢量三角形off2可得：只有当f与f1垂直时，f才最小。
f min=f2sinθ=㎎且f与水平方向的夹角为θ=30°。
3．质量为10㎏的物体在倾角为300的斜面上恰能匀速下滑。欲使该物体产生大小为a=，方向沿斜面向上的加速度，需对物体施加一个拉力，求推力f的最小值fmin为多少？
fmin=129.9n 方向与斜面成300角斜向上。
解析：由物体沿斜面匀速下滑，可知动摩擦因数=tan300 =。
当物体以a=沿斜面向上做匀加速运动时，物体受四个力：重力㎎ 、支持力n、摩擦力和推力f，其合力f合=ma =㎎设摩擦力和支持力n的合力为f1，则f1与n的夹角为θ= arc tan=300,做出物体的受力矢量图，如图所示。
从图可看出，重力㎎、f1与拉力f的合力为f合。由于㎎、f合大小方向一定，而f1的方向一定，只有当f与f1垂直时推力f才最小。
∠dab=600 ∠bda=∠odc=300
∠ocd=300 od=oc=㎎ da=㎎
则fmin=㎎cos300 +2㎎cos300 =㎎cos300 =129.9n
4. 如图所示，a船从港口p出发，拦截正以速度v0沿直线航行的船b，p与b所在的航线的垂直距离为a，a船起航时，b与p的距离为b，且b＞a，如略去a船起动时的加速过程，认为它一起航就做匀速运动，求a船能拦到b船所需的最小速度v。
vmin=v0 ， 运动方向应与a、b两船开始时位置的连线垂直。
解析：方法一：设a船的速度为v，运动方向与po的夹角α，由两船运动的时间相等并结合图示的几何关系得。
设tanβ=,则上式为v=
显然，当α+β90°时，a船的速率最小，最小值为vmin=v0。结合图示得到：a船的运动方向应与a、b两船开始时位置的连线垂直。
方法二：设a船的速度为v，运动方向与a、b连线的夹角α，由两船运动的时间相等并结合正弦定理得。
由于∠abc及v0为定值，只有当α=90°时，a船的速率最小，此时，最小值为vmin= v0sin∠abc=v0。
方法三：以b船为参照物，欲使a船能拦截到b船，a船应正对b船运动，即a船相对于b船的速度方向应由a指向b。
由于大地相对于b的速度为v0，方向与b船相对于地面的速度方向相反，设a船相对于b船的速度v合，大地对b的速度为v0，a对地的速度为v，满足=+，由图可看出，只有当v与v合方向垂直时，v才最小。
由sinθ==
解得vmin=v0
5．一根质量为0.2kg，粗细均匀的米尺放在水平桌面上，它与桌面的动摩擦因数为0.16，开始时，尺子有露出桌边。
今用一水平推力作用1s时间，使尺从桌边掉下，g取10m/s2,问水平推力至少多大？
0.4n解析：欲使推力最小，应满足撤去推力后，米尺继续向前滑行，至米尺的中心恰好到桌边时，米尺的速度为零。
设最小的水平推力为fm，1s内米尺的位移为s1，1s末米尺的速度为v，以运动方向为正，有。
fm-μmg=ma1 → a1=-μg
s1=a1t12= (g)×12= (g)
v=a1t=(-g)·1=-μg
撤去推力后，米尺在摩擦力作用下向前减速滑行了位移s2时速度减为零，有。
μmg=ma2 → a2=-μg=-1.6m/s2
0－v2=2a2s2 → s2==
由题意知：s1+s2=0.25m，则有：
-μg)+ 0.25
代入数据并整理得：＋＝0.25
即＋1.6（）－0.8＝0
设y=，则上式可化为：y2+1.6y－0.8=0
解得y=0.4
可知： =0.4 即 fm=0.4n
错解分析：有人用f－μmg＝ma，得出a＝－μg，再用s=at2= (g)t2，将s=0.25m、m=0.
2kg、μ=0.16、t=1s代入解得f=0.42n。
其错误原因是使米尺在1s内一直加速并当尺的重心到桌边时有最大速度。
6．如图所示，一辆有圆弧的小车停在粗糙的水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦地滑下，在小球下滑过程中小车始终保持静止状态，求：
当小车运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？
地面对小车静摩擦力的最大值为多少？
小球与圆心o连线与竖直方向夹角为450 ⑵
解析：设圆弧半径为r，当小球运动到支持力n与竖直方向的夹角为θ时，速度为v，此时小球受力如图甲所示，由牛顿第二律及圆周运动知识知：
n-mgcosθ=m……①
由机械能守恒定律得：
mgrcosθ＝mv2……②
联立①②解得：n＝3mgcosθ……
小车受力如图乙所示，由平衡条件知，车所受地面的摩擦力 f=n·sinθ，将③式入得f=3mgcosθ·sinθ=mgsin2θ,当θ＝450时，sin2θ＝1最大。
则可得静摩擦力的最大值为mg。
7．如图所示，水平地面上停放着a、b两辆小车，质量分别为m和m，m＞m，两车相距为l。人的质量也为m，另有不计质量的一根竹杆和一根细绳。第一次人站在a车上，杆插在b车上，第二次人站在b车上，杆插在a车上。
两种情况下，人用同样大小的力拉绳子，使两车相遇。设阻力可忽略不计，两次小车从开始运动到相遇的时间分别为t1和t2，则 （
d.条件不足，无法判断。
b解析：当人用力拉绳子时，两小车均做匀加速运动，设人的拉力大小为f。
解法一：当人站在a车拉绳子时，a车的加速度大小为aa=，b车的加速度大小为ab=,设相遇时a车运动的位移大小为，b车的位移大小为则。
aat12= t12
abt12=t22
而。由①②③得t1= …
当人站要b车上拉绳子时aa=,ab=同理可得。
+= aat22+ abt22= t22+ t22
即t2比较④⑤,由于m＞m，则m+m＜2m, 知t1＜t2
解法二：第一次人站在a车上拉绳子，设拉力大小为f，则。
a车加速度大小 aa=,b车加速度大小 ab=
则a车相对b车加速度大小为 a相＝aa＋ab＝＋＝
第二次人站在b车上，拉力大小仍为f，则。
a车加速度大小=，b车加速度大小=
于是a车相对b车加速度大小为=+=由于m>m，容易看出a相》
由= a相t12 及= t22
解得t1＜t2.
解法三：采用极限法分析。由于题设条件m＞m，假设m→∞，则前后两种情况下a车不动，只需考虑b车的运动。
第一次人站在a车上用f力拉绳子，则b车加速度大小为。
ab=第二次人站在b车上用f力拉绳子，则b车加速度大小为。
aa=显然ab > aa，所以t1＜t2。
8．在光滑的水平面上，有a、b两个物体，它们的质量分别为ma＝4kg，mb＝1kg，b物体与一轻弹簧相连，如图所示。若a、b分别具有动能ea、eb，且ea＋eb＝100j，问ea、eb各应为多少时，碰撞过程中弹簧的最大压缩量才能达到最大。
a、b相向运动且ea＝20j，eb＝80j
解析：在碰撞过程中，当a、b两物体的速度相等时，弹簧的压缩量最大，此时弹簧的弹性势能最大，系统的动能最小。
设碰前a的速度为va，b的速度为vb
若碰前a、b两物体运动方向相同，达共同速度时的速度为vab，根据动量守恒定律有。
m**a+mbvb=(ma+mb)vab
则碰后系统的总动能为eab= (ma+mb)vab2=……
若碰前a、b两物体运动方向相反，由动量守恒得。
m**a-mbvb=(ma+mb)vab
则碰后系统的总动能为eab= (ma+mb)vab2=……
比较①②式可知，②式中当m**a= mbvb时，eab=0, 即eab取得最小值，此时弹性势能达最大。
可知m**a= mbvb
又m**a2+mbvb2=100
④联立并将ma=4kg, mb=1kg代入解得v1=m/s, v2=4 m/s
ea=20j ，eb=80j
即两物体以大小相等，方向相反的动量相碰时，当弹簧压缩量最大时，速度为零，动能全部转化为弹性势能。
9．如图所示，图a（a）中a、b是真空中相距为d的两平行金属板，在t＝0时加上图（b）所示的交变电压，使开始时a板电势高于b板，这时在紧靠b板处有一初速为零的电子（质量为m，电量为e）在电场力作用下开始运动，欲使电子到达a板时具有最大的动能，则所加交变电压频率的最大值是多少？
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