2023年新高一数学竞赛

平面几何竞赛基础11 ──圆的切线。

姓名。爱因斯坦曾说：如果平面几何不能激起一个人的好奇心，那么这个人在科学上的发展也不会很远诶．

自学处理方法：先阅读完成例题解答，再独立完成练习并将解答回发邮箱，以便批阅反馈．

注意要求目的：要求独立完成，可以参阅资料．目的是开学后考试选拔100名思维好且钻研能力强的竞赛选手．

一、基本知识。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．（这句话有两层意思：过圆心垂直于切线的。

直线必过切点；过切点垂直于切线的直线必过圆心）

二、重要例题。

例1．△abc中，∠a的平分线交外接圆于p，bd是△abc外接圆的切线；求证：p到bd与bc

的距离相等．（提示：连结，作于，证明）

例2．ab是半圆的直径，c是半圆上一点，直线mn切半圆于c，am⊥mn于m点，bn⊥mn于n

点，cd⊥ab于d点，求证：cd=cm=cn．（提示：连结）

例3．ab是⊙o的直径，bc是切⊙o于b的切线，连结oc，并作弦ad∥oc，连结cd，求证：cd是圆的切线．（提示：连结，证明）

例4．△abc的两条高be、cf交于h，又△abc的外接圆圆心为o，求证：ao⊥ef．

提示：过作圆的切线，证明）

例5．在一个四边形中，如果一组对边之和等于另一组对边之和，那么这个四边形必有内切圆．

已知：四边形abcd中，ab+cd=ad+bc；求证：四边形abcd必有内切圆．

提示：分情况讨论：①若，则为筝形，易证；②若，在上取，在上取，连结）

例6．abcd为圆外切四边形，ac为对角线，那么△abc的内切圆和△adc的内切圆与ac切于同。

一点．（提示：设和的内切圆分别切于和，证明）

三、巩固练习11 （以下两道题的解答要回发到邮箱。

1．设凸四边形abcd的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心在边ab上，且与四边形的其余三个边。

相切；求证：ad+bc=ab．

2．设一四边形同时内接、外切于圆，将其内切不相邻的两切点用线段连结，则这两条线段所在的直。

线互相垂直．

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新高一数学

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