第一讲重叠问题。
一、学习重点：
1、 掌握数学中重要原理---包含与排除原理。
2、包含与排除原理解决生活中实际问题。
二、精典例题与形成性练习。
a级基础点睛。
例题1 六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？
方法点拨：根据题意，画出下图：
试试身手1小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共有多少人？
拓展练习1同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共有多少个同学？
b级培优导航。
例题2 同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？
方法点拨：根据题意，画出左图：
由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4 ＋ 3 －1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。
试试身手2同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？
拓展练习2三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人？
例题3 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？
方法点拨：把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。
试试身手3把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？
拓展练习3两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。另一根木棍长多少厘米？
例题4 一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？
方法点拨：根据题意，画出下图：
试试身手4三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。两项比赛都参加的有几人？
拓展练习4三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10名。两种棋都会下的有多少名？
c级勇夺冠军（选学）
例题5 三（1）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？
方法点拨：两份报纸都订的10人，这10人既被包括在订《数学报》的32人内，又被包括在订《阅读报》的30人内，重复算了一次，所以要算出全班人数，必须从32＋30=62人中去掉被重复算过的10人。所以全班人数应是62－10=52人。
试试身手5三（4）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有31人，每人至少完成一种作业。三（4）班共有学生多少人？
拓展练习5三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人至少带一种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？
三、课堂小测试。
1、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一行座位有多少个？
2，为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？
4、两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？
四、学习内容与方法归纳。
本次课程主要学习一些重叠知识解决生活中常见问题。方法：从条件入手进行认真的分析，画出图示，借助图形进行思考，运用包含与排除原理，找出哪些是重复的，重复了几次，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
五、课外轻松练习。
把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？
竞赛真题：某班语文、算术、外语三门功课期中考试成绩统计结果：语文、算术、外语得100分的同学分别有14人、12人、10人，语文、算术和算术、外语两门都得100分的同学均各有5人，语文、外语两门都得100分的同学有4人，班上有3名同学三门都得了100分。
根据上面统计数据，算一算，至少有一门得100分的有几名同学？
数学趣题。小牛对人说：“昨天，我跟两位象棋高手下棋。
我面前摆着两副棋盘，我一个人走两盘棋，同时跟这两位高手比赛。你们猜，谁胜谁负？”“准是你两盘都输了。
”人们知道小牛刚学下象棋，连马步怎么走都记不住。“不对。头一回，两盘都是和棋。
第二回，我输一盘，赢一盘。无论再下多少回，我也不会同时输两盘棋。”“你吹牛。
”两位象棋高手出来证明：小牛没有吹牛，我们也没有让棋。是他采取巧妙的办法来和我们下棋的。小牛用的是什么巧妙办法。
第二讲等差数列的认识。
一、学习要点：
1、学会找规律，运用规律解决问题。
2、培养探索发现能力。
二、精典例题与形成性练习。
a级基础点睛。
引入与铺垫—点睛。
请观察下面几组数：
这些数列如果我们用求差法来找规律，就会发现在每一组数列中相邻两个数的差都是相等的。我们把这种相邻两个数差都相等的数列，简称为“等差数列”。
下面我们就从“高斯求和”学起吧！大数学家高斯上小学时，老师给大家出了这样一道题：
正当大家忙着把这100个数一个一个加起来时，高斯却很快报出了正确答案5050。高斯有什么决窍呢？原来他拿到这道题之后，没有马上就动笔计算，而是先通过仔细观察，发现这100个加数中，（1，100）、（2，99）、（3，98）、…49，52）、（50，51），每两个数的和都是101，一共有50个101，所以得5050。
即：1＋2＋3＋4＋5＋6＋……98＋99＋100
在这一道题中的加数形成了一个等差数列，1是这个数列的第一项，我们通常称为首项；100是这个数列中的最后一项，我们通常称它为尾项（末项）；
从首项到尾项一共有100个数相加，我们称这个数列的项数是100。如果从11＋12＋13＋……19，一共有9个加数相加，则项数就是9。
这样我们就可以根据上面的计算得到等差数列求和的方法：
等差数列的和=（首项＋尾项）×项数÷2
我们都知首在等差数列中，每相邻两个数的差都相等，我们把一个等差数列中相等的这个差叫公差（cha）。
在日常生活和小学生数学竞赛中，这样的求一串自然数的和的问题是经常碰到的。
例1 1＋2＋3＋4＋……49＋50=？
方法点拨 ：这是一个自然数列，也是一个等差数列，它的首项是1，尾项是50，项数也是50，所以可以通过等差数列求和公式计算。试试身手1
b级培优导航。
例2你能迅速算出下列算式的结果吗？
方法点拨 ： 这还是一个等差数列，它的首项是11，尾项是50，项数是多少？还是50吗？
仔细观察这一题和上一题，我们会发现例2比例1少了10个加数，例2一共只有40个加数，所以项数是40。试试身手2
拓展空间2
例3 6＋10＋14＋18＋……394＋398=？
方法点拨 ：这是一个公差为4的等差数列，它的首项是6，尾项是398，那么它的项数是多少呢？我们一时看不出来，但我们通过仔细观察发现：
第一项是6，第二项10比6多1个公差4；第三项14比6多2个4；第四项18比6多3个4；……那么，第n项就应该比6多（n－1）个4，398比6多几个4呢？通过计算我们得出（398－6）÷4=98（个），所以398是第99项，这题中一共有99个加数。
通过这一题我们可以得出求一个等差数列项数的方法：
项数=（尾项－首项）÷公差＋1试试身手3
拓展空间3
例4 计算下面一个数列的第100项是多少？
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