广州六中江玉军编辑整理 2013.6.10
一选择题：1.设集合m=，n=，则（ d ）
a. b. c. d.
2.定义域为r的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（ c ）
a.4 b.3 c.2 d.1
3.若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ c ）
a.（2，4） b.（2，－4） c.（4，－2） d.（4，2）
4.已知离散型随机变量x的分布列为。
则x的数学期望e（x）＝（a ）
a. b.2 c. d.3
5.某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（ b ）
a.4 b. c. d.6
6.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面。
下列命题中正确的是（ d ）
a.若，则。
b.若，则。
c.若，则。
d.若，则。
7.已知中心在原点的双曲线c的右焦点为f（3，0），离心率等于，则c的方程是（ b ）
a. b. c. d.
8.设整数，集合x＝。令集合。
s=，且三条件x若和都在s中，则下列选项正确的是（ b ）
a. b.
c. d.
二填空题。9.不等式的解集为。
10.若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=__1___
11.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为___7___
12.在等差数列中，已知＝10，则=__20___
13.给定区域d：。
令点集是z=x+y在d上取得最大值或最小值的点}。则t中的点共确定___6___条不同的直线。
14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线c的参数方程为（t为参数），c在点（1，1）处的切线为l。以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为。
15.（几何证明选讲选做题）如图3，ab是圆o的直径，点c在圆o上。延长bc到d，使bc＝cd，过c作圆o的切线交ad于e。若ab＝6，ed＝2，则bc＝__2___
三解答题。16.（本小题满分12分）已知函数。
1）求的值；
2）若，求。
解：（1）＝；
17.（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数。
1）根据茎叶图计算样本均值；
2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人。茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率。
解：（1）22；
2）在所取样本中有2人加工零件个数超过样本均值22，故优秀工人的频率为，根据样本情况估计总体中有名优秀工人。
3）这是一个古典概型，设所取的工人中恰有1名优秀工人为事件a，共有个等可能的基本事件，其中事件a中含有个基本事件，评注：这是一道典型的文科题，概率问题比往年要容易得多。
18.如图5，在等腰直角三角形abc中，，bc＝6，d、e分别是ac、ab上的点，cd＝be＝，o为bc的中点。将沿de折起，得到如图6所示的四棱锥，其中。
1）证明：平面bcde；
2）求二面角的平面角的余弦值。
解：（1）在图5中连结ao，交de于点f。
因为等腰直角三角形abc，，所以ac=ab=。
又因为cd=be=，所以ad=ae=。
所以，所以de//bc。
又因为o为bc的中点，所以f为de中点，。
所以df=af=2，of=1。
在直角三角形odf中，od=。
在中，，所以。
在中，，所以。
又因为，所以平面bcde。
2）以点o为坐标原点，分别以of、ob和所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系。
平面bcd的法向量。
设平面的法向量，令x=1，得y=－1，z＝，即。
所以，所以二面角的平面角的余弦值为。
评注：第1问看起来简单，证起来比较麻烦；若第1问证不出，第2问可以直接当成已经证明的条件来用，照样可以拿到第2问的分。
19.（本小题满分14分）
设数列的前n项和为sn。已知。
1）求a2的值；
2）求数列的通项公式；
3）证明：对一切正整数n，有。
解：（1）令n=1，解得；
2）法一：令n=2，解得；猜想，下面用数学归纳法证明。
当n=1时，猜想显然成立；
假设当时，，
则当n=k+1时，
即当n=k+1时，猜想也成立。
综合①②知，对任意正整数n，。
法二：当时，两式相减得。
整理得。两边同时除以，得。
又因为，所以是首项为，公差为1的等差数列，所以，即。
当n=1时，；
当n=2时，；
当时，。综上所述，对一切正整数n，有。
评注：用数学归纳法思维量、运算量均小得多，推荐数学归纳法。今后教学中若还是强调记住各种类型的递推式的变形技巧，而不注重训练学生如何将递推式变形成基本的等差和等比数列的递推式的形式，即若还是将教学重心放在模式识别上的话，高考必将吃大亏。
20.（本小题满分14分）
已知抛物线c的顶点为原点，其焦点f（0，c）（c>0）到直线l：x－y－2＝0的距离为。设p为直线l上的点，过点p作抛物线c的两条切线pa，pb，其中a、b为切点。
1）求抛物线c的方程；
2）当点p为直线l上的定点时，求直线ab的方程；
3）当点p在直线l上移动时，求的最小值。
解：（1），解得c=1，所以抛物线c的方程为；
2）设，设切点为，曲线c：，
则切线的斜率为，化简得。
设、，则是以上方程的两根， ，化简得；
当时，取得最小值。
21.（本小题满分14分）
设函数。1）当k=1时，求函数的单调区间；
2）当时，求函数在上的最大值m。
解：（1）当k=1时，
令，解得。所以，在上单调递增，在上单调递减。
令解得。先比较与k的大小：
令，（）所以在上单调递减，，即。
所以在上的最大值只能是或。
以下比较＝1与的大小：
令。令，则，单调递减，，存在唯一的使。
所以在上，递增；在上，递减。
而，，故，即。
所以m＝。点评：
1.选择题的答案为dccabdbb，多了1个b，少了1个a，不满足四个选项数量均等的规律。
2.与2024年高考题一样，整份试题难度不大，打破了试题难度大小年的规律，试题难度趋易且稳定下来了。
3.强调数学语言的理解，尤其是在集合语言上。t均考察了集合语言的理解和运用。
4.前三道大题都不难，故要在日常教学中强调表达规范完整。
5.后三道大题强调代数运算能力，训练学生严谨细致的思维品质。
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