压轴题全解（绝对提分）
1、已知，在平行四边形oabc中，oa=5，ab=4，∠oca=90°，动点p从o点出发沿射线oa方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点q从a点出发沿射线ab方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．
1）求直线ac的解析式；
2）试求出当t为何值时，△oac与△paq相似；
3）若⊙p的半径为，⊙q的半径为；当⊙p与对角线ac相切时，判断⊙q与直线ac、bc的位置关系，并求出q点坐标。
解：（1）2）①当0≤t≤2.5时，p在oa上，若∠oaq=90°时，故此时△oac与△paq不可能相似．
当t>2.5时，①若∠apq=90°，则△apq∽△oca，∵t>2.5，∴符合条件．
②若∠aqp=90°，则△apq∽△∠oac，∵t>2.5，∴符合条件．
综上可知，当时，△oac与△apq相似．
（3）⊙q与直线ac、bc均相切，q点坐标为（）。
2、如图，以矩形oabc的顶点o为原点，oa所在的直线为x轴，oc所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知oa＝3，oc＝2，点e是ab的中点，在oa上取一点d，将△bda沿bd翻折，使点a落在bc边上的点f处．
1）直接写出点e、f的坐标；
2）设顶点为f的抛物线交y轴正半轴于点p，且以点e、f、p为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
3）在x轴、y轴上是否分别存在点m、n，使得四边形mnfe的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）；．2）在中，设点的坐标为，其中，顶点，设抛物线解析式为．
如图①，当时，，．
解得（舍去）；．解得．
抛物线的解析式为。
如图②，当时，，．
解得（舍去）．
当时，，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是．
3）存在点，使得四边形的周长最小．
如图③，作点关于轴的对称点，作点关于。
轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于。
点，则点就是所求点．
．又， ，此时四边形的周长最小值是．
3、如图，在边长为2的等边△abc中，ad⊥bc,点p为边ab 上一个动点，过p点作pf//ac交线段bd于点f,作pg⊥ab交ad于点e,交线段cd于点g,设bp=x.
1）①试判断bg与2bp的大小关系，并说明理由；
用x的代数式表示线段dg的长，并写出自变量x的取值范围；
2）记△def的面积为s,求s与x之间的函数关系式，并求出s的最大值；
3）以p、e、f为顶点的三角形与△edg是否可能相似？如果能相似，请求出bp的长，如果不能，请说明理由。
解：（1）①在等边三角形ａｂｃ中，∠ｂ60°，∵30°，∴2ｂｐ．
为等边三角形x.
又∵ｂｇ2x，ｂｄ1，∴ｄ2x－1，∴０2x－1≤１，
2）s=de×df=
当时，.3）①如图１，若∠ｐｆt∠，则两三角形相似，此时可得ｄｆ＝
即。解得：．
如图２，若∠ｐｅt∠，则两三角形相似，此时可得ｄｆ＝即．解得：．
4、如图，二次函数的图像经过点，且与轴交于点。
1）试求此二次函数的解析式；
2）试证明：（其中是原点）；
3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）∵点与在二次函数图像上，，解得，二次函数解析式为。
2）过作轴于点，由（1）得，则在中，，又在中，，
3）由与，可得直线的解析式为，
设，则，.∴
当，解得 （舍去），∴
当，解得 （舍去），∴
综上所述，存在满足条件的点，它们是与。
5、如图1，在rt△abc中，∠c＝90°，bc＝8厘米，点d在ac上，cd＝3厘米．点p、q分别由a、c两点同时出发，点p沿ac方向向点c匀速移动，速度为每秒k厘米，行完ac全程用时8秒；点q沿cb方向向点b匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒，△dcq的面积为y1平方厘米，△pcq的面积为y2平方厘米．
1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；
2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点p的速度及ac的长；
3）在图2中，点g是x轴正半轴上一点（0＜og＜6＝，过g作ef垂直于x轴，分别交y1、y2于点e、f．
说出线段ef的长在图1中所表示的实际意义；
当0＜x＜６时，求线段ef长的最大值．
解：（1）∵，cd＝3，cq＝x，∴．
图象如图所示．
2）方法一：，cp＝8k－xk，cq＝x，．∵抛物线顶点坐标是（4，12），．解得．则点p的速度每秒厘米，ac＝12厘米．
方法二：观察图象知，当x=4时，△pcq面积为12．
此时pc＝ac－ap＝8k－4k＝4k，cq＝4．∴由，得．
解得．则点p的速度每秒厘米，ac＝12厘米．
方法三：设y2的图象所在抛物线的解析式是．
图象过（0，0），（4，12），（8，0）， 解得，cp＝8k－xk，cq＝x，∴．
比较①②得。则点p的速度每秒厘米，ac＝12厘米．
3）①观察图象，知线段的长ef＝y2－y1，表示△pcq与△dcq的面积差（或△pdq面积）．②由⑵得。（方法二，）
ef＝y2－y1，∴ef＝，二次项系数小于０，∴在范围，当时，最大．
6、如图，在中，，、分别是边、
上的两个动点（不与、重合），且保持，以为边，在点的异侧作正方形。
1）试求的面积；
2）当边与重合时，求正方形的边长；
3）设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，并写出定义域；
4）当是等腰三角形时，请直接写出的长。
解：（1）过作于，∵，
则在中，，∴
2）令此时正方形的边长为，则，解得。
3）当时，.当时，.
7、如图已知点a (-2，4) 和点b (1，0)都在抛物线上．
1）求、n；
2）向右平移上述抛物线，记平移后点a的对应点为a′，点b的对应点为b′，若四边形a a′b′b为菱形，求平移后抛物线的表达式；
3）记平移后抛物线的对称轴与直线ab′ 的交点为点c，试在轴上找点d，使得以点b′、c、d为顶点的三角形与相似．
解：（1）根据题意，得： 解得。
（2）四边形a a′b′b为菱形，则a a′=b′b= ab=5
向右平移5个单位的抛物线解析式为。
3）设d（x，0）根据题意，得：ab=5，∵∠a=∠b b′a
) △abc∽△b′cd时，∠abc=∠b′cd ，∴bd=6－x由得解得x=3， ∴d（3，0）
）△abc∽△b′dc时，∴ 解得 ∴
8、如图，已知直角梯形abcd中，ad∥bc，a b⊥bc ，ad＝2，ab＝8，cd＝10．
1）求梯形abcd的面积s；
2）动点p从点b出发，以1cm/s的速度、沿b→a→d→c方向，向点c运动；动点q从点c出发，以1cm/s的速度、沿c→d→a方向，向点a运动，过点q作qe⊥bc于点e．若p、q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点p在b→a上运动时，是否存在这样的t，使得直线pq将梯形abcd的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时pq是否平分梯形abcd的面积；若不存在，请说明理由；
在运动过程中，是否存在这样的t，使得以p、d、q为顶点的三角形恰好是以dq为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
解：在ｒt△dch中，
经计算，pq不平分梯形abcd的面积。
9、如图，⊙o的半径为1，等腰直角三角形abc的顶点b的坐标为（，0），cab=90°，ac=ab，顶点a在⊙o上运动．
1）当点a在x轴上时，求点c的坐标；
2）当点a运动到x轴的负半轴上时，试判断直线bc与⊙o位置关系，并说明理由；
3）设点a的横坐标为x，△abc的面积为s，求s与x之间的函数关系式，并求出s的最大值与最小值；
4）当直线ab与⊙o相切时，求ab所在直线对应的函数关系式．
解：（1）当点a的坐标为（1，0）时，ab=ac=－1，点c的坐标为（1，－1）；
当点a的坐标为（－1，0）时，ab=ac=＋1，点c的坐标为（－1，＋1）；
2）直线bc与⊙o相切，过点o作om⊥bc于点m，∴∠obm＝∠bom=45°,
om=ob·sin45°=1，∴直线bc与⊙o相切。
3）过点a作ae⊥ob于点e
在rt△oae中，ae2=oa2－oe2=1－x2，在rt△bae中，ab2=ae2+be2=(1-x2) +x）2=3-2x
s=ab·ac= ab2= (3-2x)=
其中－1≤x≤1，当x=－1时，s的最大值为，当x=1时，s的最小值为．
4）①当点a位于第一象限时(如右图)：
连接oa，并过点a作ae⊥ob于点e
直线ab与⊙o相切，∴∠oab=90°，又∵∠cab=90°，∴cab+∠oab=180°，点o、a、c在同一条直线上，∴∠aob=∠c=45°，在rt△oae中，oe=ae=．点a的坐标为（，）
过a、b两点的直线为y=－x+．
当点a位于第四象限时(如右图)
点a的坐标为（，－过a、b两点的直线为y=x－．
10、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，其中点b在x轴的正半轴上，点c在y轴的正半轴上，线段ob、oc的长（ob（1）求a、b、c三点的坐标；
2）求此抛物线的表达式；
3）连接ac、bc，若点e是线段ab上的一个动点（与点a、点b不重合），过点e作ef∥ac交bc于点f，连接ce，设ae的长为m，△cef的面积为s，求s与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
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