高三一轮复习讲座一 --集合与简易逻辑。
一、复习要求
1、 理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；
2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；
3、 理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；
4、 理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；
5、学会用定**题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。
二、学习指导。
1、集合的概念：
1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；
2） 集合的分类：
1 按元素个数分：有限集，无限集；
②按元素特征分；数集，点集。如数集，表示非负实数集，点集表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；
3） 集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如n+=；描述法。
2、两类关系：
1） 元素与集合的关系，用或表示；
（2）集合与集合的关系，用，，=表示，当ab时，称a是b的子集；当ab时，称a是b的真子集。
3、集合运算。
（1）交，并，补，定义：a∩b=，a∪b=，cua=｛x|x∈u，且xa｝，集合u表示全集；
2） 运算律，如a∩（b∪c）=（a∩b）∪（a∩c），cu（a∩b）=（cua）∪（cub），cu（a∪b）=（cua）∩（cub）等。
4、命题：1） 命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；
2） 复合命题的形式：p且q，p或q，非p；
（3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。
（3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。
因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。
5、 充分条件与必要条件。
（1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；
（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合a，满足条件q的所有对象组成集合q，则当ab时，p是q的充分条件。
ba时，p是q的充分条件。a=b时，p是q的充要条件；
3） 当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。
6、 反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。
7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。
三、典型例题。
例1、已知集合m=，n=，求m∩n。
解题思路分析：
在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。m、n均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。m==，n==
m∩n=m=
说明：实际上，从函数角度看，本题中的m，n分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。
此集合与集合是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例=。
例2、已知集合a=，b+，且a∩b=b，求实数m范围。
解题思路分析：
化简条件得a=，a∩b=bba
根据集合中元素个数集合b分类讨论，b=φ，b=或，b=
当b=φ时，△=m2-8<0
当b=或时，，m无解。
当b=时，
m=3综上所述，m=3或。
说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当b=或时，不能遗漏△=0。
例3、用反证法证明：已知x、y∈r，x+y≥2，求证x、y中至少有一个大于1。
解题思路分析：
假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾。
假设不成立。
x、y中至少有一个大于1
说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。
例4、若a是b的必要而不充分条件，c是b的充要条件，d是c的充分而不必要条件，判断d是a的什么条件。
解题思路分析：
利用“”、符号分析各命题之间的关系。
dcba da，d是a的充分不必要条件。
说明：符号“”、具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。
例5、求直线 ：ax-y+b=0经过两直线 1：2x-2y-3=0和 2：3x-5y+1=0交点的充要条件。
解题思路分析：
从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。
由得 1， 2交点p（）
过点p 17a+4b=11
充分性：设a，b满足17a+4b=11
代入方程：
整理得： 此方程表明，直线恒过两直线的交点（）
而此点为 1与 2的交点。
充分性得证。
综上所述，命题为真。
说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。
四、同步练习。
一） 选择题。
1、 设m=，a=lg(lg10)，则与m的关系是。
a、=m b、m c、m d、m
2、 已知全集u=r，a=，b=，且a∩b=φ，则a的取值范围是。
a、 [0，2] b、（-2，2） c、（0，2] d、（0，2）
3、 已知集合m=，n、，则m，n的关系是。
a、 mn b、mnc、m=nd、不确定。
4、设集合a=，b=，则a∪b中的元素个数是。
a、11b、10c、16d、15
5、集合m=的子集是。
a、15b、16c、31d、32
6、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是。
a、所给命题为假b、它的逆否命题为真。
c、它的逆命题为真d、它的否命题为真。
7、“α是cosα≠cosβ”的。
a、充分不必要条件b、必要不充分条件。
c、充要条件d、既不充分也不必要条件。
8、集合a=，b=，s=之间的关系是。
a、sba b、s=ba c、sb=a d、sb=a
9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是。
a、0c、m<1d、m≤1
10、已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的。
a、充分不必要条件b、必要不充分条件。
充要条件d、既不充分又不必要条件。
二） 填空题。
11、 已知m={}n=，（2）若元素a∈p，则6-a∈p，则集合p个数是。
三） 解答题。
16、 设集合a=，b=，若a∩b是单元素集合，求a取值范围。
17、 已知抛物线c：y=-x2+mx-1，点m（0，3），n（3，0），求抛物线c与线段mn有两个不同交点的充要条件。
18、 设a=≠φm=，n=，若a∩m=φ，a∩n=a，求p、q的值。
19、 已知，b=2-x，c=x2-x+1，用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小于1。
高三一轮复习讲座二 --函数。
一、复习要求。
7、 函数的定义及通性；
2、函数性质的运用。
二、学习指导。
1、函数的概念：
（1）映射：设非空数集a，b，若对集合a中任一元素a，在集合b中有唯一元素b与之对应，则称从a到b的对应为映射，记为f：a→b，f表示对应法则，b=f(a)。
若a中不同元素的象也不同，则称映射为单射，若b中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。
（2）函数定义：函数就是定义在非空数集a，b上的映射，此时称数集a为定义域，象集c=为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。
逆过来，值域也会限制定义域。
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