2024年中考试题分类汇编---圆。
100．（2006·长沙市）如图，四点在上，的延长线相交于点，直径为8，，．
1）求证：；（2）计算cd·cb的值，并指出cb的取值范围．
1）证明：
（2）直径。
又， 连接，在中，101．（2006·泉州市）如图，已知o为原点，点a的坐标为（4，3），⊙a的半径为2．过a作直线平行于轴，点p在直线上运动．
１）当点p在⊙o上时，请你直接写出它的坐标；
２）设点p的横坐标为12，试判断直线op与⊙a的位置关系，并说明理由。
解：点p的坐标是（2,3）或（6,3）
作ac⊥op,c为垂足。
∠acp=∠obp=,∠1=∠1
△acp∽△obp
在中，又ap=12-4=8, ∴
ac=≈1.94
op与⊙a相交。
102．（2006·嘉兴市）如图，已知△abc，ac＝bc＝6，∠c＝90°．
o是ab的中点，⊙o与ac相切于点d、与bc相切于点e．设⊙o
交ob于f，连df并延长交cb的延长线于g．
1）∠bfg与∠bgf是否相等？为什么？
2）求由dg、ge和弧ed围成图形的面积（阴影部分）．
1）∠bfg＝∠bgf
连od，∵od＝of（⊙o的半径），∠odf＝∠ofd
⊙o与ac相切于点d，∴od⊥ac
又∵∠c＝90°，即gc⊥ac，od∥gc
∠bgf＝∠odf
又∵∠bfg＝∠ofd，∴∠bfg＝∠bgf
2）连oe，则odce为正方形且边长为3
∠bfg＝∠bgf
bg＝bf＝ob－of＝3－3
阴影部分的面积＝△dcg的面积－(正方形odce的面积－扇形ode的面积)
103. （2006·锦州市）如图，ab是半圆o的直径，c为半圆上一点，∠cab的角平分线ae交bc于点d，交半圆o于点e.若ab=10，tan∠cab=，求线段bc和cd的长。
23.解：方法一：
∵ab是半圆o的直戏，∴∠c=90°.
在rt△abc中，∵，
设ac=4k，bc=3k.
∵ac2+bc2=ab2，ab=10，∴(4k)2+(3k)2=100，解得k1=2，k2=-2(舍去).
∴ac=8，bc=6.
过点d作df⊥ab于f.
∵ad是∠cab的角平分线，∴cd=df.
∵∠dfb＝∠acb＝90°，∠dbf＝∠abc，∴△dbf∽△abc.
∴.即。 ∴cd=.
方法二：求ac、bc的方法同上。
过点d作df⊥ab于f.
∵ad是∠cab的角平分线， ∴cd=df.
∵ad=ad，∴△acd≌△afd. ∵af=ac=8，bf=ab-af=2.
∵∠cab+∠b=90°，∠fdb+∠b=90°，∴fdb=∠cab.
104．（2006·晋江市）街道旁边有一根电线杆ab和一块半圆形广告牌，有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆的顶端a的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处g，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点e，已知bc=5米，半圆形的直径为6米，de=2米。
1）求电线杆落在广告牌上的营长（即的长度，精确到0.1米）
2）求电线杆的高度。
105．如图，已知ab是⊙o的直径，直线cd与⊙o相切于点c，ac平分∠dab．
1)求证：ad⊥cd；
2)若ad=2，ac=，求ab的长．
1)证明：连结bc．
直线cd与⊙o相切于点c，∴∠dca=∠b．
ac平分∠dab，∴∠dac=∠cab．
∠adc=∠acb．
ab为⊙o的直径，∴∠acb=90°．
∠adc=90°，即ad⊥cd．
2)解：∵∠dca=∠b，∠dac=∠cab，△adc∽△acb．
ac2=ad·ab.
ad=2，ac=,∴ab=.
106.如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5m。秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的确夹角)约为35°,求：
1)秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为多少m？(精确到0.1m)
2)一个小孩从左边荡到右边一次移动的最大路程约为多少m？(精确到0.1m,，π取3.14)
解：设秋千链子的上端固定于a处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板于b处，过点a，b的铅垂线分别为ad，be，点d，e在地面上，过b作bc⊥ad于点c。
在rt△abc中，∵ab=3，∠cab=53°
ac=3cos53°≈3×0.6=1.8(m)
cd≈3+0.5－1.8=1.7(m)
be=cd≈1.7(m)
答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离为1.7m，一次移动的路程是5.5m.
107．（2006·德州市）半径为的中，直径的不同侧有定点和动点，已知，点在上运动，过点作的垂线，与的延长线交于点．
1）当点运动到与点关于直径对称时，求的长；
2）当点运动到什么位置时，取到最大值，并求出此时的长．
解：（1）当点运动到与点关于直径对称时，如图所示，此时于，又为的直径，．，
又∵ac×bc=ab×cd,．
在和中，，
（2）因为点在弧上运动过程中，有，所以最大时，取到最大值．
当过圆心，即取最大值5时，最大，最大为．
108. （2006·枣庄市）半径为2.5的⊙o中，直径ab的不同侧有定点c和动点p．已知bc ：ca＝4 : 3，点p在上运动，过点c作cp的垂线，与pb的延长线交于点o
l）当点p与点c关于ab对称时，求cq的长；
2）当点p运动到的中点时，求cq的长；
3）当点p运动到什么位置时，cq取到最大值？求此时cq的长．
解：( l）当点p与点c关于ab对称时，cp⊥ab，设垂足为d.
∵ab为⊙o的直径，∴∠acb=900.
∴ab=5,ac:ca=4:3,∴bc=4, ac=3.
又∵ac·bc=ab·cd
在rt△acb和rt△pcq中，∠acb＝∠pcq=900, ∠cab＝∠cpq，rt△acb∽rt△pcq
(2）当点p运动到弧ab的中点时，过点b作be⊥pc
于点e（如图）.
p是弧ab的中点，6分。
又∠cpb=∠cab
cpb= tan∠cab=
而从 由（l）得，
(3）点p在弧ab上运动时，恒有。
故pc最大时，cq取到最大值．
当pc过圆心o，即pc取最大值5时，cq 最大值为
109．（2006·青岛市）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
2）若这个输水管道有水部分的水面宽ab＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
15．（1）正确作出图形，并做答．
2）解：过o作oc⊥ab于d ，交弧ab于c，oc⊥ab ， bd＝ab＝×16＝8cm．
由题意可知，cd＝4cm．
设半径为x cm，则od＝（x－4）cm．
在rt△bod 中，由勾股定理得：
od2＋bd2＝ob2， ∴x－4)2＋82＝x2．
x＝10．即这个圆形截面的半径为10cm．
110. (2006·广安市) 已知： 如图， ab是⊙o的直径， ⊙o过ac的中点d, de切⊙o于点d, 交bc于点e.
(1)求证： de⊥bc; (2)如果cd=4, ce=3, 求⊙o的半径。
证明： (1)连结od.
de切⊙o于点d
de⊥od, ∴ode=900
又∵ad=dc, ao=ob
od//bc
∠dec=∠ode=900, ∴de⊥bc
2)连结bd.
ab是⊙o的直径， ∴adb=900
bd⊥ac, ∴bdc=900
又∵de⊥bc, △rtcdb∽△rtced , bc=
又∵od=bc
od=, 即⊙o的半径为。
111. (2006·广安市)如图， 已知ab是⊙o的直径， 直线l与⊙o相切于点c且， 弦cd交ab于e, bf⊥l, 垂足为f, bf交⊙o于g.
1)求证： ce2=fg·fb. (2)若tan∠cbf=, ae=3, 求⊙o的直径。
证明： (1)连结ac
ab为直径， ∠acb=900. ,且ab是直径
ab⊥cd
即ce是rt△abc的高
∠a=∠ecb, ∠ace=∠ebc
ce是⊙o的切线
∠fcb=∠a, cf2=fg·fb
∠fcb=∠ecb
∠bfc=∠ceb=900, cb=cb
△bcf≌△bce
ce=cf, ∠fbc=∠cbe
ce2=fg·fb
2)∵∠cbf=∠cbe, ∠cbe=∠ace
∠ace=∠cbf
tan∠cbf= tan∠ace=
ae=3, ∴ce=6
在rt△abc中， ce是高
ce2=ae·eb, 即62=3eb, ∴eb=12
⊙o的直径为： 12+3=15.
112. （2006·北京市海淀区）如图，在⊙o中，弦ac与bd交于e，，求cd的长。
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