借鉴竞赛试题，决战2011高考。
高考数学与竞赛数学有交汇部分，一些好的竞赛试题常成为高考试题的生长点，因此数学竞赛试题对高三复习备考有很好的参考价值，现从全国及各省市数学竞赛试题中精选60多道与高考数学内容联系比较紧密的选择题，供数学成绩较好的高三学生参考。
1．设在xoy平面上，0m=, n=，n=，映射f：mn使对任意的x∈m，都有是奇数，则这样的映射f的个数是（ ）
（a）45b）27c）15d）11
解：当x=-2时，x+f（x）+xf（x）=-2-f（-2）为奇数，则f（-2）可取1，3，5，有三种取法；当x=0时，x+f（x）+xf（x）=f（0）为奇数，则f（0）可取1，3，5，有3种取法；当x=1时，x+f（x）+xf（x）=1+2f（1）为奇数，则f（1）可取1，2，3，4，5，有5种取法。由乘法原理知，共有3×3×5=45个映射。
9．在四面体abcd中，设ab=1，cd=，直线ab与直线cd的距离为2，夹角为。则四面体abcd的体积等于。
a． b． c． d．
解析：c． 过点d作dfcb，过点a作aebc，联结ce，ed，af，bf，将棱锥补成棱柱。故所求棱锥面积为cecdsin∠ecdh=
10、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇和数有（ ）个。
（a）100b）120c）160d）200
解：设三位数是，则+。
若不进位，则和数的十位数必为偶数，不符合题意，所以=11，13，15，17。
因11=9+2=8+3=7+4=6+5，所以取值有种可能；
因13=9+4=8+5=7+6，所以取值有种可能；
因15=9+6=8+7，所以取值有种可能；
因17=9+8，所以取值有种可能；
由于不能进位，所以只能取0，1，2，3，4。
因此，满足条件的数共有：5（++100（个）
11．函数是上的单调递增函数，当时，，且，则的值等于（ ）
a 1 b 2c 3d 4
答案：b解：（用排除法）令，则得．
若，则，与矛盾；
若，则，与“在上单调递增”矛盾；
若，则，也与“在上单调递增”矛盾．
故选b．12．曲线与交于两点（2，5），（8，3），则的值是（ ）
a． 7b．8c．10d．13
解析：绝对值函数的图象是斜率为的直线，过（2，5），（8，3）分别作这种直线，，联立和。
解得的曲线的顶点**折点）为（4，7）和（6，1），所以=4+6=10．
13. 已知方程在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( b )
(ab) (c) (d)以上都不是。
14、二次函数与一次函数在同一个直角坐标系的图像为（ ）
提示：二次函数与一次函数图象交于两点、，由二次函数图象知，同号，而由中一次函数图象知异号，相矛盾，故舍去。又由知，当时，，此时与中图形不符，与中图形相符。 故选
15. 设，则对任意实数，是的。
a. 充分必要条件b. 充分而不必要条件。
c. 必要而不充分条件d. 既不充分也不必要条件 （ a ）
解】显然为奇函数，且单调递增。于是。
若，则，有，即，从而有。
反之，若，则，推出 ，即 。
16、设 ，又记则（ ）
答案：；解：，据此，，，因为型，故选。
17. 设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如。
记，，则＝（ d ）
(a) 20 (b) 4 (c) 42 (d) 145.
解： 将记做，于是有。
从16开始，是周期为8的周期数列。故。
正确答案为d。
18、函数与有相同的定义域，且对定义域中的任何，有。若的解集是，则函数是（ ）
a、奇函数b、偶函数。
c、既是奇函数又是偶函数d、既不是奇函数又不是偶函数。
解：的定义域为，即，所以定义域关于原点对称，又。
所以为偶函数。 故选b。
19.已知函数在[1,2]上恒正，则实数a的取值范围是c
ab）cd）
20.对一切实数x，所有的二次函数（a＜b）的值均为非负实数．则的最大值是a
abc）3d）2
21.设a＞b＞c，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，则a
a）a+b＞1 （b）a+b=1 （c）a+b＜1
d）不能确定，与a、b的具体取值有关。
22.某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是b
a）16966 （b）16975 （c）16984 （d）17009
23.设，则的最小值等于（ ）
abcd、b 提示：
取则。故选b
24.已知关于参数的二次函数的最小值是关于的函数，则的最小值为。
以上结果都不对。
答选。当时，的最小值为，其中。因为对称轴为，所以当时的最小值为，选。
是s的三元子集，满足：a中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集a的个数是b
ab）cd）
26.已知为正整数，，实数满足，若的最大值为，则满足条件的数对的数目为。
答选。因为，所以，于是有，因此。由于，得，其中的最大值当，时取到。又因为，所以满足条件的数对的数目为，选。
27.当－≤x≤时，函数f(x)满足2 f(－sinx)＋3 f(sinx)＝sin2x，则f(x)是。
a)奇函数b)偶函数c)非奇非偶函数 (d)既奇又偶函数。
答案：a28.长方体abcda1b1c1d1，ac1为体对角线．现以a为球心，ab、ad、aa1、ac1为半径作四个同心球，其体积依次为v1、v2、v3、v4，则有c
a）v4＜v1+v2+v3b）v4=v1+v2+v3
c）v4＞v1+v2+v3d）不能确定，与长方体的棱长有关。
29.设o点在内部，且有，则的面积与的面积的比为（ ）
a. 2bc. 3d.
解：如图，设d，e分别是ac，bc边的中点，则。
由（1）（2）得，即共线，且， 故选c。
30.正方形纸片abcd，沿对角线ac对折，使d在面abc外，这时db与面abc所成的角一定不等于d
a）30b）45c）60d）90°
31.已知△abc，若对任意，，则△abc一定为。
a．锐角三角形 b. 钝角三角形 c. 直角三角形 d. 答案不确定
【答】 （c ）
解】令，过a作于d。由，推出
令，代入上式，得
即 , 也即 。从而有。由此可得 。
32.设，为两个相互垂直的单位向量。已知=，=r+k.若△pqr为等边三角形，则k，r的取值为。
ab． cd．
解答．c． ，即。
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