2023年学生学业调研质量抽测（第一次）模拟试题。
理科数学）答案。
17、解：（1）
即 ……3分。
又为锐角 ……6分。
2） 由余弦定理得。
即9又代入上式得（当且仅当时等号成立）…10分。
当且仅当时等号成立。）…12分。
18、解，
随机变量的分布列为。
数学期望8分。
（ⅱ）所求的概率………12分。
19 解： （1）易得
当， ………7分。
两式相减得。
20．解：（ⅰ因为椭圆的一个焦点是（1，0），所以半焦距=1.
因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形。
所以，解得所以椭圆的标准方程为。 …4分。
ⅱ）（i）设直线：与联立并消去得：.
记， 由a关于轴的对称点为，得，根据题设条件设定点为（，0），得，即。所以。
即定点（1 ， 0）. 8分。
ii）由（i）中判别式，解得。 可知直线过定点 (1,0).
所以得， 令记，得，当时，.
在上为增函数。 所以 ，得。故△oa1b的面积取值范围是。 …12分。
21.解：（ⅰ当时，，则。
依题意得：，即解得………4分。
ⅱ）由（ⅰ）知，
当时，令得。
当变化时，的变化情况如下表：
又，，。在上的最大值为2.
当时，.当时， ,最大值为0；
当时，在上单调递增。∴在最大值为。
综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；
当时，即时，在区间上的最大值为。……8分。
ⅲ)假设曲线上存在两点p、q满足题设要求，则点p、q只能在轴两侧。
不妨设，则，显然。
是以o为直角顶点的直角三角形，∴
即 （*若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点p、q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点p、q.
若，则代入（*）式得：
即，而此方程无解，因此。此时，代入（*）式得： 即 （*令，则。在上单调递增的取值范围是。
对于，方程（**总有解，即方程（*）总有解。
因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点p、q，使得是以o为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上。……12分。
22、（1）证明：由，得，即。
因，故，得，又由题设条件知，两式相减得，即，由，知，因此。
综上，对所有成立，从而是首项为1，公比为的等比数列。
2）当或时，显然，等号成立。
设，且，由（1）知，，，所以要证的不等式化为：
即证：当时，上面不等式的等号成立。
当时，与，（）同为负；
当时， 与，（）同为正；
因此当且时，总有 （）0,即。
上面不等式对从1到求和得，由此得。
综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立。
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