2023年成考专升本高等数学试题一。
一。 选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
*1. 设函数，是的反函数，则（ ）
a. b.
c. d.
令，反函数为，选b
*2. 若是的极值点，则（ ）
a.必定存在，且。
b.必定存在，但不一定等于零。
c.可能不存在。
d.必定不存在。
应选c。例：在处取得极小值，但该函数在处不可导，而不存在。
*3. 设有直线，则该直线必定（ ）
a. 过原点且垂直于x轴。
b. 过原点且平行于x轴。
c. 不过原点，但垂直于x轴。
d. 不过原点，且不平行于x轴。
直线显然过（0，0，0）点，方向向量为，轴的正向方向向量为，，故直线与x轴垂直，故应选a。
*4. 幂级数在点处收敛，则级数（ ）
a. 绝对收敛 b. 条件收敛 c. 发散 d. 收敛性与有关。
在点处收敛，推得对，绝对收敛，特别对有绝对收敛，故应选a。
5. 对微分方程，利用待定系数法求其特解时，下面特解设法正确的是（ ）
a. b. c. d.
二。 填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。
7. 设，则。
*8. 设，则。解：
解。10. 设，则。
*11. 已知，则过点且同时平行于向量和的平面的方程为。
面的法向量为。
平面的方程为即。
12. 微分方程的通解是。
*13. 幂级数的收敛区间是。
解：令， 由解得，，于是收敛区间是。
14. 设，则与同方向的单位向量。
*15. 交换二次积分的次序得。
解：积分区域如图所示：d：，于是。
三。 解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题～第25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分，解答时应写出推理，演算步骤。
*16. 计算。
解： *17. 设，求。
解： 18. 判定函数的单调区间。
19. 求由方程所确定的隐函数的微分。
*20. 设函数，求。
解：设，则，两边求定积分得。
解得：，于是。
21. 判定级数的收敛性，若其收敛，指出是绝对收敛，还是条件收敛？
22. 设，求。
23. 求微分方程的通解。
*24. 将函数展开为麦克劳林级数。解： 即。
25. 设，求。
26. 求函数在条件之下的最值。
*27. 求曲线的渐近线。
解：（1）曲线没有水平渐近线。
（2），曲线有铅直渐近线。
所以曲线有斜渐近线。
*28. 设区域为d：，计算。
解：积分区域如图所示（阴影部分）
试题答案】一。
1. 令，反函数为，选b
2. 应选c。例：在处取得极小值，但该函数在处不可导，而不存在。
3. 直线显然过（0，0，0）点，方向向量为，轴的正向方向向量为，，故直线与x轴垂直，故应选a。
4.在点处收敛，推得对，绝对收敛，特别对有绝对收敛，故应选a。
5.特征根为，由此可见（）是特征根，于是可设，应选c。二。
8. 解： 9. 解。
11. 平面的法向量为。
平面的方程为即。
12. 解：
通解为。13. 解：令，
由解得，，于是收敛区间是。
15. 解：积分区域如图所示：d：，于是。
三。 16. 解：
17. 解：
18. 解：
当时，，函数单调增加；当或时，，函数单调减少，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为。
19. 解：方程两边对求导（注意是的函数）：
解得 20. 解：设，则，两边求定积分得。
解得：，于是。
21. 解：（1）先判别级数的收敛性。令。发散。
发散。（2）由于所给级数是交错级数且。
由莱布尼兹判别法知，原级数收敛，且是条件收敛。
22. 解：
23. 先求方程的通解：
特征方程为 ，特征根为，，于是齐次方程通解为。
方程中的，其中不是特征根，可令。
则， 代入原方程并整理得，……2）
所求通解为。
24. 解：
即。25. 解：因由得，从而。
26. 解：把条件极值问题转化为一元函数的最值。
当时，函数取到最大值。
当时，函数取到最小值0
27. 解：（1）
曲线没有水平渐近线。
（2），曲线有铅直渐近线。
所以曲线有斜渐近线。
28. 解：积分区域如图所示（阴影部分）
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