圆锥曲线的焦点三角形的一个性质。
748100 甘肃省陇西县第二中学张明远 138***
2023年山东理22题）椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为。
1） 求椭圆的方程； .
2） 点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接。设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；
3） 在（2）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且仅有一个公共点。设直线的斜率分别为，若，试证明：为定值，并求出这个定值。
答案。解：设点，对椭圆。
利用隐函数法求导，得，. 所以，点处的切线的斜率为， 所以。
定理1：已知点是椭圆上异于长轴两端点的任一点，分别是椭圆的左、右焦点。 连接，设直线的斜率分别为。过点作椭圆的切线，记切线的斜率为，若，则。
解：设点，对椭圆。
利用隐函数法求导，得，. 所以，点处的切线的斜率为， 所以。
注：在椭圆的焦点三角形中，是的平分线，切线与垂直，为的顶角的外角平分线。
定理2：已知点是双曲线上异于实轴两端点的任一点，分别是双曲线的左、右焦点。 连接，设直线的斜率分别为。过点作双曲线的切线，记切线的斜率为，若，则。
解：设点，对双曲线。
利用隐函数法求导，得，. 所以，点处的切线的斜率为， 所以。
注：在双曲线的焦点三角形中，是的平分线，切线就是垂直，为的顶角的平分线。
定理3：是抛物线的焦点，是准线与轴的交点。设是抛物线上异于顶点的任一点。设直线的斜率分别为，过点作抛物线的切线，记切线的斜率为，则若，则。
设点，对抛物线。利用隐函数法求导，得，. 所以，点处的切线的斜率为，
所以。推论：过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，准线交轴于点，连接，设直线的斜率分别为，过点处抛物线的切线斜率为，则有结论：
证明：设直线的方程为，代入得，设，，则由韦达定理得：，故。，由知。
注解：直线和直线的斜率互为相反数，其几何意义为：直线和直线的倾斜角互补。
数学教学之感言：
走过了变量的时代；领略了函数的分光；感受了空间几何图形；体验了平行与垂直两互化； 享受了坐标法之美， 体验了数形结合之神威；
欣赏了圆锥曲线的千变万化，感悟了动与静中变与不变之魅力 ；
算两次中识得方程的威力 ，养成了方程、不等式联系函数大哥之习惯 ；
给曲线插上了方程的翅膀，代数与几何一起翱翔 ；数形本是一家亲，两家分离万事休；
一会儿几何问题代数化，体验了有形无数难入微；
一会儿代数问题几何化，体验了有数无形少直观；
运筹（博弈）数理统计之中，决胜发展于千里之外；
威武导数研究函数之利器，传送均值、柯西之神威；换元成简化，解析法模型；
感悟中心与轴两对称，轮换对称五彩纷呈。 复数分虚实，向量联三角；
咬定双基不放松，立根源在解题中；咬定审题不放松，解题贵在联系中；
会解诚可贵，反思价更高；有钱难买回头看，回头一看百媚生；
众里寻他千，暮然回首，那人却在灯火阑珊处；
顺应题目提示语，直抵解题目的地；学会翻译三两步，不会解题也得分；
数学与古诗的对接：
1. 三次函数的阴柔之美：上群碧落下黄泉，两头茫茫皆不见；上可九天揽月，下可五洋捉鳖；君不见黄河之水天上来，奔流到海不复回；
2. 极限：一尺之锤，日取其半，其万世不竭；孤帆远景碧空尽，唯见长江天际流；
3. 函数零点：松下问童子，言师采药去，只知此山中，云深不知处；
4. 学了几何几何用，不学几何又几何；动中有静，静中有动；
5. 中国教学的启发式，苏格拉底的“助产术”，维果茨基的“最近发展区”；杜威建构主义。
6. 直线与圆：大漠孤烟直，长虹落日圆；
7. 好问题似会下“金蛋”的母鸡，好似“蘑菇”周围成堆生长，踩到一朵，应四处看看；
8. 问渠那得清如许，为有源头活水来；山重水复你疑无路，柳暗花明又一村；
9. 同上高楼，望尽天涯路；口到、心到、手到；背得熟，想得到，写得出；
10. 不畏浮云遮望眼，吹尽黄沙始见金；身无彩凤双飞翼，心有灵犀一点通（三角形“四心”）
11. 鸳鸯绣取凭君看，急把金针度与人；鸳鸯绣出凭教看，莫把金针度与人（更把金针度与人）；
12. 轻沙走马路无尘---让学生学会解题；竹外一枝斜更好，红杏一枝出墙来；
13. 重门深锁无处寻，疑有碧桃千树花；慢言春又至，早有闹枝红---圆的第二定义探幽；
14. 不识庐山真面目，只缘身在此山中；一石激起千层浪，纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行；
15. 随风潜入夜，润物细无声；横看成岭侧成峰，无心插柳柳成荫。
16. 周期性：离离原上草，一岁一枯荣，野火烧不尽，春风吹又生。
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