一、填空题：（每小题4分，满分56分）
1. 设全集，集合，，则等于。
解：2.是的条件。
解：必要不充分条件。
3. 设则。
解：.4. 已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则
解：设＝（x，y），则有解得x＝，y＝
5. 设，函数有最大值，则不等式的解集为。
解：设，函数有最大值，∵有最小值，∴ 06. 设集合，选择i的两个非空子集a和b，要使b中最小的数大于a中最大的数，则不同的选择方法共有种。
解：若集合a、b中分别有一个元素，则选法种数有=10种；若集合a中有一个元素，集合b中有两个元素，则选法种数有=10种；若集合a中有一个元素，集合b中有三个元素，则选法种数有=5种；若集合a中有一个元素，集合b中有四个元素，则选法种数有=1种；若集合a中有两个元素，集合b中有一个元素，则选法种数有=10种；若集合a中有两个元素，集合b中有两个个元素，则选法种数有=5种；若集合a中有两个元素，集合b中有三个元素，则选法种数有=1种；若集合a中有三个元素，集合b中有一个元素，则选法种数有=5种；若集合a中有三个元素，集合b中有两个元素，则选法种数有=1种；若集合a中有四个元素，集合b中有一个元素，则选法种数有=1种；总计有49种方法。
解法二：集合a、b中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有=10种选法，小的给a集合，大的给b集合；
从5个元素中选出3个元素，有=10种选法，再分成两组，较小元素的一组给a集合，较大元素的一组的给b集合，共有2×10=20种方法；
从5个元素中选出4个元素，有=5种选法，再分成两组，较小元素的一组给a集合，较大元素的一组的给b集合，共有3×5=15种方法；
从5个元素中选出5个元素，有=1种选法，再分成两组，较小元素的一组给a集合，较大元素的一组的给b集合，共有4×1=4种方法；
总计为10+20+15+4=49种方法。.
7. 对a,br,记max（a,b）=函数f（x）＝max（|x+1|,|x-2|）(xr)的最小值是 .
解析：由，故。
其图象如右，则。
8. 已知数列、都是等差数列，a1=0、b1= -4，用sk、s′k、分别表示数列、的前k项和（k是正整数），若sk+s′k =0，则ak+bk的值为。
解：由等差数列求和公式sk=，得+=0，又a1+b1= -4, ∴ak+bk=4。
9. 老师给出一个函数y=f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：
甲：对于x∈r，都有f(1+x)=f(1-x乙：在 (-0上函数递减。
丙：在(0,+∞上函数递增丁：f(0)不是函数的最小值。
如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数。
解】 由题意知，以甲、乙、丙、丁四个条件中任意三个为一组条件，写出符合条件的一个函数最可。例如同时具备条件甲、乙、丁的一个函数为y=(x-1)2。
10. 若-=1，则sin2θ的值等于。
解：由-=1得sinθ-cosθ=sinθcosθ ①
令sin2θ=t，则①式两边平方整理得t2+4t-4=0，解之得t=2-2。
11. 若关于x的方程=k(x-2)有两个不等实根，则实数k的取值范围是。
解：令y1=,y2=k(x-2),由图可知kab12.已知m,n是直线，α、是平面，给出下列命题：
若α⊥γ则α∥β
若n⊥α，n⊥β，则α∥β
若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β
若nα，mα且n∥β,m∥β，则α∥β
若m,n为异面直线，n∈α，n∥β，m∈β,m∥α,则α∥β
则其中正确的命题是把你认为正确的命题序号都填上）。
解：②⑤13. 若关于的不等式(组)对取一切实数恒成立，则实数、
的取值应满足的条件是。
解：且。14. 给出下面4个命题：
y=tanx在第ⅰ象限是增函数；
奇函数的图像一定过原点；
f-1(x)是f(x)的反函数，如果它们的图像有交点，则交点必在直线y=x上；
“a>b>1”是“logab<2”的充分但不必要条件。
其中正确的命题的序号是把你认为正确的命题的序号都填上）。
解：④二、选择题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的选项填在答题卷的相应位置上。
15. 若a、b、c为三个集合，，则一定有（ ）
a b c d
解：a16. 已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于。
abc.2d.3
解：函数在区间上的最小值是，则ωx的取值范围是， ∴或，∴的最小值等于，选b
17. “等式sin(α+sin2β成立”是“α、成等差数列”的( )
a.必要而不充分条件 b.充分而不必要条件 c.充分必要条件 d.既不充分又不必要条件。
解：若等式sin(α+sin2β成立，则α+γkπ+(1)k·2β，此时α、β不一定成等差数列，若α、β成等差数列，则2β=α等式sin(α+sin2β成立，所以“等式sin(α+sin2β成立”是“α、成等差数列”的．必要而不充分条件。选a．
18. 设y=f(t)是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+asin(ωt+)的图象。下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是。
a． b．
c． d．
解：b三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分。
19.（本题满分12分）
已知。ⅰ）求的值；
ⅱ）求的值。
解：(ⅰ由得，即，又，所以为所求。
20.（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分）
证明：已知函数，若，求证：．
，，3分)
(6分)(其中作差给2分)
(1分)21.（本题共2小题，其中第1小题8分，第2小题8分，满分16分）
已知函数，.求：
) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；
) 函数的单调增区间。
解析】()解法一：
当，即时，取得最大值。
函数的取得最大值的自变量的集合为。
解法二： 当，即时，取得最大值。
函数的取得最大值的自变量的集合为。
)解：由题意得：
即：因此函数的单调增区间为。
22.（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分）
已知扇形的圆心角为60°，半径为5cm，求这个扇形的内接长方形的最大面积．
解：如图，内接长方形cdef的面积为：s=ed·ef ， ed=oe·sinθ=5sinθ
在△efo中，运用正弦定理，得
如图二．取的中点m，连接om分扇形为两个小扇形，在这二个小扇形中，各有原内接长方形的一半，∴内接长方形的面积为一个小扇形中内接长方形面积的2倍．即
再比较s大与s大′的大小。
综上，所求扇形的最大内接长方形的面积为 ．
23.（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分）
上海春） 设函数。
1）在区间上画出函数的图像；
2）设集合。 试判断集合和之间的关系，并给出证明；
3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方。
解：（1）（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此。
由于。 （3）[解法一] 当时，.
. 又，当，即时，取，.，则。
当，即时，取， ＝
由 ①、可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方。
[解法二] 当时，.
由得，令，解得或，
在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点。
如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到。 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方。
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