常微分方程复习课王进良。
1．变量分离方程、变量变换。
变量分离方程：
若，则有，所以，
另外，，也是解。
齐次方程：令，，则原方程化为，是变量可分离方程，求其通解后，再将换为，得到原方程的通解。
另外，若，也是解。
可化为齐次方程：
1） 若，则是齐次方程。
2） 若，则。
令，，则是变量分离方程。
3） 若，则，令，，其中，满足。
原方程化为。
2．一阶线性微分方程。
一阶齐线性方程：
通解（全部解）
一阶非齐线性方程：
通解（全部解），常数变易法。
bernoulli方程：
令，，原方程化为。
3．恰当方程、积分因子。
对称式方程：
若，此方程是恰当方程，通解为：
或解方程组：
或分项组合法求解：记住几个常用的全微分公式。
积分因子的求法：若，则积分因子。
若，则积分因子。
4．一阶隐方程。
1），其中。
两边对求导，，是显式方程，按以前的方法求解。
若解为，则原方程的解为：。
若解为，则原方程的解为：。
若解为，则原方程的解为：。
2），其中。
两边对求导，，是显式方程，按以前的方法求解。
若解为，则原方程的解为：。
3），其中。
参数化： ，得到，，。
则原方程的解为：。
4），其中。
参数化： ，得到，，。
则原方程的解为：。
5．一阶微分方程界的存在唯一性定理。
定理：如果在上连续，且关于满足lipschitz条件：，，则方程存在唯一的解，定义在区间上，连续且满足初始条件，其中，。
证明思路：（1）先证的解等价于的连续解。
2）证明积分方程的解存在唯一。
任取，令，
若，则是积分方程的解；否则。
令， 若，则是积分方程的解；否则重复上述步骤，一般地，作函数，得到函数序列，若对于某个，，则是积分方程的解。
若没有上述情况发生，则可以证明：，一致成立。
对于（*）两边取极限：.
是积分方程的解。
注：是次近似解，且。
6．奇解（积分曲线的包络）
求微分方程：的奇解。
消去得到微分方程的曲线。
在进一步验证，若是解曲线，则是奇解；否则不是奇解。
特别地，clairaut方程：
通解： 奇解：
7．线性微分方程的解的结构。
存在唯一性定理：
叠加是（4.2）的解是（4.2）的解。
4.2）的解在上线性无关。
在上，。在[a,b]恒为0，或恒不为0）
齐线性方程通解定理： 是（4.2）的个线性无关解，则（4.2）的通解（所有解）可表示为：
注：全体解构成一个维线性空间。
非齐线性方程解的性质：（i）(4.1)的解与(4.2)的解之和为(4.1)的解。
ii）(4.1)的两解之差为(4.2)的解。
非齐线性方程通解定理：是（4.2）的个线性无关解，而（4.1）的解，则（4.2）的通解（所有解）可表示为：。
已知（4.2）的基本解组，用常数变易法求（4.1）的解。
8．常系数齐线性微分方程的解法。
特征方程：
1）单个实特征根，对应（4.19）的一个解：；
2）单个复特征根，对应（4.19）的两个解：，；
3）重实特征根，对应（4.19）的个解：；
4）重复特征根，对应（4.19）的个解：，；
由此可以找到（4.19）的个线性无关解，即基本解组。
euler方程：
通过，可以将（4.29）化为（4.19）的形式。
特征方程：
重实根对应（4.29）的个线性无关解：。
重复根对应（4.29）的个线性无关解：。
9．常系数非齐线性微分方程的解法。
比较系数法：
1），其中是次多项式。
有特解：，其中，是待定的次多项式，为作为特征根的重数。
2），其中是不高于次多项式。
有特解：，其中，是待定的次多项式，为作为特征根的重数。
laplace变换法：
令，，并利用性质：
将（4.32）化为关于的代数方程，解出，再做laplace逆变换得到。
10．高阶方程的降阶。
令，原方程化为阶方程。
令，则，一般地可以用表示出。
原方程化为阶的方程。
3）齐线性方程的降阶。
若已知该方程的个线性无关的解：
令，则原方程化为关于的阶齐线性方程，并且的系数为零。再令，得到关于的阶齐线性方程和个线性无关的解：。重复上述步骤：可以得到阶齐线性方程。
特别地，二阶齐线性微分方程：
若已知一个非零解，则可以化为一阶齐线性方程，可解。
通解：（刘维尔公式）
11．线性微分方程组解的存在唯一性定理。
阶线性方程可以化为由个一阶线性方程组成的方程组。
定理：设是方阵，是维列向量，它们都在上连续，则对于和任意维列向量，方程组存在唯一解定义在上且满足初始条件。
12．线性微分方程组的解的结构。
1）齐线性微分方程组：
叠加原理：是（5.15）的解是（5.15）的解。
5.15）的解在上线性无关。
在上，。在[a,b]恒为0，或恒不为0）
齐线性方程组通解结构定理： 是（5.15）的个线性无关解，则（5.15）的通解（所有解）可表示为：
或表示为，其中基解矩阵，为任意列向量。
注：（5.15）的基解矩阵存在，且具有性质：
i）是基解矩阵，是非奇异矩阵，则也是基解矩阵。
ii），都是基解矩阵，则存在非奇异矩阵使得。
2）非齐线性方程：
iii），
解的性质：（i）(5.14)的解与(5.15)的解之和为(5.14)的解。
ii）(5.14)的两解之差为(5.15)的解。
非齐线性方程通解结构定理：是（5.15）的基解矩阵，而是(5.14)的解，则(5.14)的通解（所有解）可表示为：。
已知（5.15）的基解矩阵，用常数变易法求得，5.14)的满足初始条件的解：
5.14)的满足初始条件的解：
13．常系数线性微分方程组的解法。
矩阵指数：
是（5.33）的实基解矩阵，且。
基解矩阵的求法：
1） 若有个线性无关的特征向量，它们分别属于，则（5.33）有基解矩阵；.
特别地，互不相同时，结论当然成立。
利用可以求实的基解矩阵。
2） 若没有个线性无关的特征向量时，即有重根的情形。
设有个不同的特征值，，重数分别为，其中，，。
对于每一个，解线性方程组，得到解空间。
于是，即，，都有，其中，，。
此时，（5.33）满足初始条件：的解为：
对于，按上述公式分别计算，，.可以求出。
复习题。一、问答题。
1．一阶线性微分方程的通解形式为。
2．clairaut方程：的通解为奇解的参数方程为。
3．bernoulli方程：化为一阶线性方程的形式，需要做的变换。
4．方程：是恰当方程的充要条件为 。
5．有仅与有关的积分因子的充要条件为此时，积分因子为。
6．有仅与有关的积分因子的充要条件为此时，积分因子为。
7．微分方程（）的p-判别曲线为。
8．阶齐线性微分方程存在且最多存在个线性无关的解。
9．阶非齐线性微分方程存在且最多存在个线性无关的解。
10．阶齐线性微分方程的个解构成的wronsky行列式在方程系数连续的区间上只能恒为零或恒不为零，对吗？
11．设是阶齐线性微分方程的个线性无关的解，则方程的通解可表示为。
12．设是阶线性微分方程的一个解，而是相应的齐线性方程的基本解组，则方程的通解可表示为。
13．阶齐线性微分方程的基本解组是否唯一？
14．齐线性微分方程组的基解矩阵必定存在，但不唯一。对吗？
15．设齐线性微分方程组的基解矩阵，则方程的通解可表示为 。
16．设是线性微分方程组的解矩阵，在区间上连续，则非奇异的充分必要条件是存在某个，使得。
17．设是的基解矩阵，则的满足初始条件的解为。
18．叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理及其证明思路。
二、计算题。
1． 解方程（变量分离）
解：（1）及，，（2）（3）
2． 解方程（齐次、可化为变量分离）
解：（1），（2），3），（4）
3． 解方程（一阶线性方程）
解：（1），（2），3）及，（4）
4． 解方程（bernoulli方程）
解：（1）及，（2）及，3）
5． 解方程（全微分方程）
解：（1），（2），3），（4）
6． 解方程（可化为全微分方程、积分因子）
解：（1），（2），3），（4）
7．解方程（隐式方程）
1），（2），解：（1），（2），8．解方程（求可能的奇解满足p-曲线）
解：（1），（2），3）及，（4）
9．解方程（非线性高阶方程）
1），（2），解：（1），（2）及。
10．解方程（高阶常系数齐线性方程）
解：（1），（2），3）
11．解方程（高阶常系数非齐线性方程）
1），2）的特解形式，3）的特解形式，4）
解：（1），2），3），4）
12．解方程（常系数线性方程组）
1）求方程组：的基解矩阵，实基解矩阵，及通解，其中。
2）求方程组：的基解矩阵，及满足初始条件的解和通解，其中。
3）求方程组：满足初始条件的解，其中，。
解：（1），通解：
2），，通解：
3），，通解：
三、 应用及证明题。
1． 设平面曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分，求曲线满足的微分方程，并求解曲线的方程。
2． 推导出方程具有形如的积分因子的充要条件。
3． 证明：非齐线性微分方程组的叠加原理。
4． 证明：n解齐线性微分方程组存在且最多存在n个线性无关的解。
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考试安排：时间：十五周周日，？？节。
地点：j0-001；j5-101
2019考研数学二复习经验
2018考研数学二复习经验分享。智阅网。虽然，2017年考研数学考试刚刚结束，可还是为了想参加2018考研数学二考试的朋友，咨询了近几年参加过考研数学二考试，并取得不错成绩的朋友们的复习经验。并将复习经验总结如下，分享给各位朋友。1.保证一个愉快的心情。这并不是说等到心情好了再去看书，而是在一定要看...
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