积分体积。
试想我们将一盒区域和它的代表元素（见图25-7）绕着x轴进行旋转。当一个区域以这种方式旋转之后就会形成一个体积，这在图中也展示了出来。那么我们现在就要找到计算这种情况下形成的体积。
因为这个区域和它的代表元素都是绕着x轴旋转的。那么代表元素就形成了一个具有要求体积的立方体。这正好是一个圆柱体。
我们知道一个圆柱体的体积等于π乘以半径的平方再乘以圆柱体的高。那么我们现在就必须找出这个圆柱体的底面半径和高。既然元素是绕着x轴旋转地，那么曲线上于元素的切点的y坐标就代表了半径。
同样的，我们可以看到高就是dx（圆柱在他的周围）。代表元素也就是那个圆盘的体积是dv=πydx。将这些元素的体积从左至右求和，那我们将得到整个的体积v，即。
v=π∫ydx=π∫f(x)]dx25-8）
这样，通过公式25-8我们就能求出以x轴为边界并绕x轴旋转后形成的立体图形的体积了。
例题a求出以y=x，x=2和y=0为边界的区域绕x轴旋转后的体积。
解： 如图2-8 我们由公式25-8得到下式。
如果以y轴为边界的区域绕y轴旋转地话，那么的得到的体积的公式由下式得出。
v =πxdy25-9)
在这种情况下代表元素的半径就是曲线上切点的x坐标，圆盘的高就是dy。我们对于半径和高的选取一定要准确细心。
例题b求出有y=2x，y=6和x=0围城的面积绕y轴旋转后形成的体积。
解：按照图25-9所示，我们可以写出下式。
由于这个立体图形是一个圆锥，那么我们就可以验证一下结果。
这还有另一种方法可以计算出旋转体的体积。如果图25-8中的面绕y轴旋转的话，那么面的微元ydx将会形成一个于它绕x轴旋转后不同的立体图形。我们可以在图25-10中看到这是的体积微元是环形外壳的一部分，总体积就由无穷多个环形外壳组成，当这些外壳的体积相加之后，我们就得到了新形成的立体图形的体积，所以我们现在必须要找出代表元素外壳的准确体积dv。
通过底面周长乘以高，我们可以获得外壳的表面积的表达式。然后将这个式子乘以外壳的厚度我们就得到了体积。这个外壳体积的表达式就是。
dv=2π（半径）*（高）*（厚度25-10）
同样的，圆盘的体积由下式给出。
dv=π（半径）*（高25-11）
对于是式（25-10和（25-11）所给出的形成立方体的形式我们需要记住这些微元，而对于式（25-8）和（25-9）的形成方式则不需记忆。如果我们记住了这种方法，我们就可以很容易的将它用在求解此类的形成体积的问题上。
例题c运用环形外壳的方法计算由y=4-x，x=0和y=0围成的面绕y轴旋转形成的体积。
解：由图25-11我们可以确定半径，高和厚度：r=x，h=y，t=dx（边界位x=0到x=2）于是。
例题d用圆盘法求出例题c中的体积。
解：由图25-12我们可以确定半径和高：r=x，h=dy（边界为y=0到y=4），于是。
例题e如果例题c中的面是绕x轴旋转的，那么用外壳法求出它的体积、
从图25-13中我们可以看到r=y，h=x，t=dy（边界为y=0到y=4），于是。
关于解这个方程的方法我们还未讨论，我们现在先将答案给出供读者参考）
例题f通过使用圆盘法求出例题e中的体积。
解：由图25-14我们可得r=y，h=dz（边界为x=0到x=2）。所以。
例题g如果例题c中的面绕x=2旋转，求出它的体积。
外壳法是很简便的，因为外壳的体积可以便是为一个单独的积分。由图25-15我们可知。
r=2-x，h=y， t=dx
于是有。（如果这个面是绕x=3旋转地，那么唯一的不同就是r=3-x。其他的所有条件，包括边界，都是一样的。）
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