数学思想方法专题。
知识点归纳：常用的数学思想。
1．整体思想。
从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易。 整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等
2．分类讨论思想。
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
3．数形结合思想。
在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形 ”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
4.函数与方程的思想。
方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．
5.转化思想。
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
第1讲整体思想。
1．(江苏盐城)已知a－b＝1，则代数式2a－2b－3的值是( )
a．－1b．1c．－5d．5
2．(山东济南)化简5(2x－3)＋4(3－2x)结果为( )
a．2x－3b．2x＋9c．8x－3d．18x－3
3．(浙江杭州)当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为___
4．(江苏苏州)若a＝2，a＋b＝3，则 a2＋ab＝__
5．已知且06．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需___元．
图z1－37．如图z1－3, ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6
8．(浙江丽水)已知a＝2x＋y，b＝2x－y，计算a2－b2的值．
9.已知－＝3，求代数式的值．
第2讲分类讨论思想。
1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）
a. 30b. 75c. 105d. 30°或75°
2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于。
3.(乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）
a．9cm b．12cm c．15cm d．12cm或15cm
4. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
5. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
6．a、b两地相距450千米，甲、乙两车分别从a、b两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过小时两车相距50千米，则的值是（ ）
a．2或2．5 b．2或10 c．10或12．5 d．2或12．5
7. 为美化环境，计划在某小区内用的草皮铺设一块一边长为10的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
8. （上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .
9. 已知δabc的两边ab，ac的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边bc长为5。
1）为何值时，δabc是以bc为斜边的直角三角形？
2）为何值时，δabc是等腰三角形，并求δabc的周长。
第3讲数形结合思想。
1．(四川自贡)伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速沿原路返回学校．在这一情景中，速度v和时间t的函数图象(不考虑图象端点情况)大致是( )
2．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在( )
a．玩具店 b．文具店 c．文具店西边40米 d．玩具店东边－60米。
3．实数a、b上在数轴上对应位置如图3－3－6所示，则等于（ ）
a．a b．a－2b c．－a d．b－a
4. 已知直线y1=2x－1和y2=－x－1的图象如图3－3－24所示，根据图象填空．
当x___时，y1＞y2；当x___时，y1=y2；当x___时，y1＜y2.
方程组的解是。
5．(天津)某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360 km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：h)之间的关系如图z3－6，则下列结论正确的是( )
a．汽车在高速公路上的行驶速度为100 km/h； b．乡村公路总长为90 km
c．汽车在乡村公路上的行驶速度为60 km/h d．该记者在出发后4.5 h到达采访地。
图z3－66、 如图3－3－12所示，δaob为正三角形，点a、b的坐标分别为，求a，b的值及△aob的面积．
第4讲函数与方程思想。
例1】 如图：在△abc中，ba=bc=20 cm，ac=30 cm，点p从点a出发，沿ab以每秒4 cm的速度向点b运动；同时q点从c点出发，沿ca以每秒3 cm的速度向点a运动．设运动的时间为x秒．
(1)当x为何值时，pq∥bc?
(2)△apq能否与△cqb相似？
(3)若能．求出ap的长；若不能．请说明理由．
解】(1)根据题意ap=4xcm，aq=ac－qc=(30－30x)cm，若pq∥bc，则．
则，解得．所以当s时，pq∥bc．
(2)因为∠a=∠c，所以当或时，△apq能与△cqb相似．
当时，，解得．
②当时，，解得x1=5，x2=－10(舍去)．所以ap=4x=20．
所以当cm或20 cm时，△apq与△cqb相似．
解题反思】 由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．
1．如果关于x的方程无解，则的值为。
2．如图，已知矩形abcd中，e是ad上一点，f是ab上一点，ef⊥ec，且ef=ec，de=4 cm，矩形abcd的周长为32 cm，求ae的长．
3．如图3，a、b、c、d为矩形的四个顶点，ab＝16cm，bc＝6cm，动点p、q分别从点a 、c同时出发，点p以3 cm/s的速度向点b移动，点q以2 cm/s的速度向点d移动．当点p运动到点b停止时，点q也随之停止运动。问几秒后，点p和点q的距离是10 cm？
4．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元。为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价。据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱。
如果要使每天销售饮料获利14000元，每箱应降价多少元？
第5讲转化思想。
1. 在关于x的一元二次方程中，a、b、c是的三条边，，那么这个方程根的情况是（ ）
a. 没有实数根 b. 有两个相等的实数根 c. 有实数根 d. 有两个不相等的实数根。
2. 已知a、b、c是三边的长，b>a＝c，且方程两根的差的绝对值等于，则中最大角的度数是（ ）
a. b. c. d.
3．已知，求的值．
4． 如图1所示，δabc是等边三角形，p为三角形内任一点，pd//ab交bc于d，pe//bc交ac于e，pf//ca交ab于f，若三角形的周长为18cm，试求pe+pd+pf的值．
5. 四边形abcd中，，ac平分，，，求bc和ab的长。
数学思想方法作业
第一章 第四章 一 简答题。1.分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。答 算术解题方法的基本思想 首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。代数解题方法的基本思想是，首先依据问题的条件组成内含已...
2019高考数学解题方法攻略思想方法理
数学思想方法。知识网络构建。考情分析 数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括，数学思想方法较之数学知识具有更高的层次，具有理性的地位，它是一种数学意识，属于思维和能力的范畴，它是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁 高考中把函数与方程的思想作为数学思想方法的重点进行考查，通过选择题和填空题考...
掌握数学建模,感悟数学思想方法 2
难点 把实际问题抽象为数学问题，建立合适的数学模型，探索解决问题的有效方法。4 教学设备或教辅工具 多 三角板 计算器。5 教学思路 观察操作 概括归纳 应用提高。二 教学过程。一 温故知新 1 直角三角形的理论依据 提问学生 三边之间关系 角之间关系 a b 90 边角之间关系 sina cosb...