算法重点总结。
一、引言——算法基本概念。
1. 什么是算法：有限指令序列，对某个问题能够得出正确答案的规则集合。
2. 算法的特点：确定性，可终止性，可行性，输入，输出。
3. 算法规模：问题实例的大小，输入的大小。
4. 基本运算：主要的、关键的、耗时的最小操作。
5. 算法正确性及复杂度证明方法：反证法、数学归纳法（p(a)成立，且对每个n>a，只要p(n-1)成立，p(n)一定成立）
6. 算法分析标准：正确性、工作量、占用空间量：算法运行过程中的内存占用情况、简单性和清晰性、最优性（即算法的上界（工作量的上界）等于求解问题的下界（问题固有的复杂度））
7. 算法选择方法：经验法和理论法（常用）
8. 算法的时间复杂度表示方法：大o表示上界，ω表示下界，θ表示同阶。
9. 选择排序：每次选择序列中最小值放在有序序列尾部（与无序数列头部元素交换）
10. 插入排序：将当前元素与前向有序数列比较，查找插入位置，移动后插入。
二、贪心算法。
1. 贪心算法的一般特性。
1) 优化问题：建立候选对象集。
2) 建立对象集合：划分解对象集和抛弃对象集。
3) 求解终止函数：判断解对象集是否是问题的解或者求解是否结束（未必是最优解）
4) 可行解函数：判断候选对象集元素是否可以加入到当前解的对象集中（未必是最优解）
5) 选择函数：指出哪个剩余的候选对象最有可能构成问题的解。
6) 目标函数：给出问题的解。
2. 贪心算法求解模版。
3. 找零问题的一般特性。
1）找最少硬币数，候选对象集
2）一选到的硬币集和未被选的硬币集。
3）判断解函数（solution）,检查目前已选的硬币集中的金额是否等于要找的钱数。
4）如果集合中硬币钱数不超过应找金额，则该集合是可行的。
5）选择函数（selection）,从未选硬币集合中找一个面值最大的硬币。
6）目标函数（object）：计算硬币金额。
4. 图：最小生成树算法的一般特性。
1) 优化问题：建立候选图的边集。
2) 建立集合：已选中的边集mst，未选边集e-mst
3) 求解终止函数：如果mst构成生成树，则它是一个解。
4) 解存在函数：候选边加入mst构不成回路，则该边可以加入mst
5) 选择函数：prim算法选择u和v-u之间的最小边加入mst；kruskal算法从未选边中选最小边加入mst
6) 目标函数：计算mst中边权值和。
5. kruskal算法思想。
1）将所有边按权由小到大排列 ；
2）mst置空；
3）依次取最小边（u,v）：
* 若（u,v）加入mst不构成回路则将（u,v）加入mst;
若mst中的边达到n-1条，则结束；
kruskal算法证明：归纳g的边数。
归纳基础：当g只有一条边，显然g就是最小生成树；
归纳假设：设t中有s6. prim算法思想。
1）解集合t为空，b为任意顶点。
2）从b和v-b之间的边中选一最小边(u,v), u属于b,v属于v-b
3）将(u,v)加入t,将v加入b
4）重复(2)-(3)n-1次。
prim算法证明：归纳于t中边的数目，如果t在任何步骤都是有希望的，则往t里加一条边后，仍然是有希望的。
7. 图：单源最短路径（非负边）dijkstra算法o(n2)
function dijkstra(l[1..n,1..n]) array[2..n]
array d[2..n]
c=for i=2 to n do d[i]=l[1,i]
for i=2 to n do
v=some element of c minimizing d[v]
c=c\ for each w∈c do
d[w]=min
return d
dijkstra算法证明：（数学归纳法）
a)如果一个顶点i满足i<>1，且i在s中，则d[i]给出了从源到i的最短路径长度。
b)一个顶点i不在s中，则d[i]给出了从源到i的最短特殊路径长度。（i的前驱在s中）
8. 贪心算法背包问题（可分割）
function knapsack(w[1..n],v[1..n]):array[1..n]
for i=1 to n do x[i]=0
weight=0;
while weight i=the best remaining object
if weight+w[i]<=w then x[i]=1
weight=weight+w[i]
else x[i]=(w-weight)/w[i]
weight=w
return x
如果根据v/w（价重比）降序顺序选择物品，则knapsack算法可以找到最优解。
9 贪心算法删数问题。
算法思想：利用数组（优化问题），输入数字序列组成待选集合，用初始输入数字序列作为解集合和初始抛弃集合为空（建立对象集合）。循环中，每次从解集合中去除一个数加入到抛弃集合中（可行解函数），使得解集合数列最大（选择函数），循环结束（求解终止函数）后所得解集合为所求最大值（目标函数）。
选择函数：从高位向低位，比较相邻两位数字大小，若高位比低位数字大，则将高位加入到抛弃集合中，若高位比低位小，则向低位移动继续比较。
10 贪心算法会场安排问题。
算法思想：利用数组（优化问题），记录活动开始时间和结束时间，按结束时间排序建立待选集合，初始解集合为空（建立对象集合）。循环中，从待选集合中选择结束时间较早的活动，令其与解集合最后一项活动比较两者是否相容（待选会议开始时间大于解集合中会议结束时间），若两者相容，则将待选会议加入到解集合中，若不相容，抛弃当前待选会议，从待选集合中选择下一项。
3、分治算法（递归分治算法）
1. 分治算法的一般三要素：
1）定义一个最小规模的问题，并给出其解。
2）把复杂的问题划分为同类型的若干规模较小的子问题，并分别解决子问题。
3）把各子问题的解组合起来，即可得到原问题的解。
2. 分治算法模版：
3. 二分递归查找算法：
4. 分治算法归并排序算法：
算法思想：比较两个有序数列首部，取较小值放入解集合，并删除其在原数列中的数据。若某一数列为空，则依次取非空数列元素加入解集合即可。
若两个数列无序，则将两个无序数列递归分割，最终得到两个只有一个元素的数列（即为有序），对其进行归并操作。
5. 分治算法快速排序算法：
算法思想：1．先从数列中取出一个数作为基准数。
2．分区过程，将比这个数大的数全放到它的右边，小于或等于它的数全放到它的左边。
3．再对左右区间重复第二步，直到各区间只有一个数。
6. 分治法求幂算法：
算法思想：1．最简单问题：n=0，解是1
2. 问题分解： an=an-1*a
3.解的合成：an=an-1*a
4、动态规划算法。
1. 动态算法基本思想：
用表记录已解决子问题的答案，需要时再找出已求得的答案，避免重复计算，即用空间换取时间，提高解题效率。
2. 动态规划设计方法：
1）基于递归算法设计动态规划算法：递归算法对分解的每个子问题都要递归求解，其中可能有许多子问题重复计算，导致效率低下。为避免这种重复，可以将递归算法改写为动态规划算法；
2）基于问题结构设计；
3. 动态规划的基本步骤：
1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征。
2）递归地定义最优值。
3）以自底向上的方式计算出最优值。
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