一、定义域。
题型一】判断是否为同一函数。
判断两个函数是否为同一函数的依据：1、定义域一样；2、解析式相同。
常见的相同函数：，.
例1、【2017－2018红岭期中】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
a．与y＝x＋1 b．y＝x与y＝|x|
c．与y＝x－1 d．y＝|x|与。
答案】：d解析】：a选项定义域不一样、b选项解析式不同，c选项的相同函数为。
题型二】基本函数的定义域。
定义域：自变量的取值范围；基本函数的定义域：满足条件的自然约束条件。
例2、【2017－2018华侨城期中】函数的定义域为（ ）
a．[－2，2] b．（－1，2）
c．[－2，0)∪(0，2] d．（－1，0）∪(0，2]
答案】：d解析】：.
题型三】抽象函数的定义域。
抽象函数的定义域解法：在同一对应法则下，括号内的式子取值范围相同。
例3、【2017－2018二高期中】若函数y＝f（x）的定义域是[－2，4]，则函数g（x）＝f（x＋1）＋f（－x）的定义域是（ ）
a．[－4，4] b．[－2，2] c．[－3，2] d．[2，4]
答案】：c解析】：的定义域是[－2，4]，则对函数，；
对函数，；故。
二、解析式。
题型四】换元法、配凑法。
例4、若，则。
答案】：.解析】：。
例5、【2017－2018科高期中】已知函数，则函数f（x）的解析式为（ ）
a． b． c． d．
答案】：a解析】：设，，故可得。
剖析：配凑法和换元法都是解决已知求的形式，能使用换元法尽量使用换元法。
题型五】待定系数法。
例6、【2017－2018二高期中】已知二次函数f（x）满足f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x＋10，求函数f（x）的解析式；
答案】：解析】：设，
化简得，即，即，，，故。
剖析：若题目里面明确已知函数类型，则可使用待定系数法设出函数解析式。
题型六】函数方程组法。
例7、【2017-2018盐高期中】若函数f (x)满足：，则f（x）的解析式．
答案】：.解析】：①
剖析：函数方程组法主要解决形如的情况，且会满足，如，。
三、值域。题型七】分离常数法。
例8、函数在的值域为。
答案】：.解析】：，值域为。
剖析：分离常数法主要针对的是形如的分式齐次式，另外它还有很多妙用，比如在证明函数的单调性时，我们可以先用分离常数，这样会使得运算更加简洁，也可以用分离常数法去研究诸如此类函数的的单调性，例如通过分离常数，可以轻易看出函数的单调性。
题型八】换元法。
例9、函数的值域为。
答案】：解析】：设，则，故，故值域为。
剖析：换元法其实就是一个整体法，我们在处理一个比较复杂的式子的过程中，可以把某一个整体用一个字母来代替。
注意：在使用换元法的过程中，一定要主要换元后新元的取值范围。此方法非常之优秀。
函数的单调性。
一、函数的单调性定义。
概念辨析】1、基本概念：
2、单调性定义的特殊变形。
设任意，在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
3、定义法证明（判断）单调性的步骤：
1）取值：任取给定区间，且；
2）做差，因式分解变形。
3）判断符号。
4）下结论。
高频考点】1、定义法证明分式性函数单调性：在（2）中先通分，然后将分子进行因式分解即可。
2、定义法证明抽象函数单调性：对抽象函数的恒等式进行变形后，合理赋值即可（先赋值再根据所需来设立的大小）
例题剖析】例1、已知函数对于任意，总有，当时，，求证：在r上是减函数。
解：任取，
令，则。当时，，即
在r上为减函数；
点睛：对于抽象函数证明函数单调性仍要结合定义去证明，其方法和基本步骤与具体函数证明函数单调想相同，且变形仍是一个难点，学生可以将本题当作一个范例，理解变形的过程并加以理解。
二、单调区间的定义及求法。
概念辨析】1、基本定义：若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数f ( x )在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数f ( x )的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。
2、函数单调性几个常用的结论：
1）当f ( x )恒为正或者恒为负时，函数与f ( x )单调性相反。
2）若常数，那么与f ( x ) 有相同单调性，若，则有相反的单调性．无论c为何值，与的单调性相同。
3）若与都为单调增（减）函数，则仍是单调增（减）函数。
3、复合函数单调区间求法：对于复合函数，若， 在同一区间上单调性相同，那么在这一区间上为单调增函数；若，在同一区间上单调性相反，那么在这一区间上为单调减函数，即“同增异减”
高频考点】1、单调区间求法：
绝对值函数单调区间求法：利用图像来寻找单调区间（注意区分与）
复合函数单调区间求法：利用“同增异减”来求单调区间（注意先求定义域！！）
2、已知单调区间求参数范围：
二次函数：
当，单调减区间为，增区间为
当，单调增区间为，减区间为。
对数函数：利用复合函数“同增异减”来求，注意需先求定义域。
分段函数：除保证每一段单调性都一样，还需保证在衔接点处也满足单调性。
例题剖析】例1、函数的单调减区间是( )
a．[1,2b．[－1,0c．[0,2d．[2，＋∞
答案】a函数的图象如图所示：
结合图象可知函数的单调减区间是
点睛：本题主要考查了分段函数的应用以及函数单调性的判断，考查了数形结合的思想，属于基础题，在含有绝对值的题目时通常要经过分类讨论去绝对值。
例2、函数的单调递增区间是。
由得函数定义域为。
为减函数，在上递减。
则单调递增区间为。
点睛：复合函数单调性遵循“同增异减”原则，注意要先求定义域在求单调区间。
例3．若函数满足在r上为增函数成立，那么的取值范围是___
答案】 因为为单调递增函数，因此，则。
点睛：已知分段函数的单调性确定参数的值或范围，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值。
三、单调性的性质及用法。
1、解抽象不等式。
1）若函数为增函数，则；
2）若函数为减函数，则。
2、求函数最值。
1）若函数在区间上单调递增，则当时，取最小值，即，则当时，取最大值，即，2）若函数在区间上单调递减，则当时，取最大值，即，则当时，取最小值，即，3、比大小。
当函数在上为增函数时，若，且时，则。
当函数在上为减函数时，若，且时，则。
函数的奇偶性。
易错知识点】
一、函数奇偶性的定义。
重点：1、一般地，设函数的定义域为，，都有
若对于，都有 ，那么就叫做偶函数．
若对于，都有，那么就叫做奇函数．
函数具有奇偶性的前提条件是：定义域必须关于原点对称。
2、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
3、若一个函数既是奇函数又是偶函数，则解析式为，但既是奇函数又是偶函数的函数不唯一，任意一个关于原点对称的区间都可以成为其定义域．
4、利用定义判断函数奇偶性的步骤：
5、复合函数奇偶性判断：在公共定义域内，两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
两个偶函数的和、积是偶函数；
一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．
常见奇偶函数：
(为奇数)是奇函数， (为偶数)是偶函数。
为奇函数，为偶函数。
为奇函数，为奇函数。
为奇函数，为偶函数。
二、奇偶性性质。
1、若为偶函数，
2、若函数是奇函数，且在处有定义，则。
高频考点】1、已知奇偶性求参数。
任意取两值，列方程求解即可（例），注意：取的值在函数定义域内，且需要检验。
2、已知奇偶性求解析式。
利用或者进行转化后，使用直接代入法求解析式。
3、已知奇偶性求值。
根据题目，得出关系式，代入即可求值。
例题剖析】1、已知在上是单调递增的，且图像关于轴对称，若，则的取值范围是( )
ab． cd．
答案】c由题意得函数在上单调递增，在上单调递减，解得，实数的取值范围为．
故选c．点睛】
解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内。
2、设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是___
答案】或。是奇函数，且在内是增函数，在内是增函数，则当或时，当或时，则不等式等价为：，①或，②
由①得，解得，由②得得，解得，综上，或，故答案为或。
点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题。将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解。
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