数学试卷。参***。
一、选择题。
1．a2．c
3．a4．d
5．b6．c
7．d8．b
二、填空题。
三、解答题。
13．解：
14．解不等式组。
解：由不等式①解得。
由不等式②解得
则不等式组的解集为
15．解：
经检验是原方程的解。
所以原方程的解是。
16．证明：因为ab∥ed，则∠a＝∠d
又af＝dc
则ac＝df
在△abc与△def中。
所以△abc≌△def
所以bc＝ef
17．解：
当时，原式。
18．解：如图，过点d作df∥ab交bc于点f
因为ad∥bc
所以四边形abfd是平行四边形。
所以bf＝ad＝1
由df∥ab
得∠dfc＝∠abc＝90°
在rt△dfc中，∠c＝45°，cd
由 求得 cf＝2
所以 bc＝bf＋fc＝3
在△bec中，∠bec＝90°
求得 be＝
四、解答题。
19．解：（1）证明：如图，连结oa。
因为。所以 ∠b＝30°
故∠o＝60°
又oa＝oc，所以△aco是等边三角形。
故∠oac＝60°
因为∠cad＝30°
所以∠oad＝90°
所以 ad是⊙o的切线。
（2）解：因为od⊥ab
所以oc垂直平分ab
则ac＝bc＝5
所以oa＝5
在△oad中，∠oad＝90°
由正切定义，有。
所以 ad＝5
20．解：（1）1536－1382＝154（万人）
故从2023年到2023年北京市常住人口增加了154万人。
（2）1536×10.2%＝156.672≈157（万人）
故2023年北京市常住人口中，少儿（0～14岁）人口约为157万人。
（3）例如：依数据可得，2023年受大学教育的人口比例为16.86%，2023年受大学教育的人口比例为23.57%。可知，受大学教育的人口比例明显增加，教育水平有所提高。
21．解：依题意得，直线l的解析式为 y＝x
因为a（a，3）在直线y＝x上。
则a＝3即 a（3，3）
又因为a（3，3）在的图象上。
可求得 k＝9
所以反比例函数的解析式为
22．解：所画图形如图所示。
五、解答题。
23．解：图略。
（1）fe与fd之间的数量关系为fe＝fd。
（2）答：（1）中的结论fe＝fd仍然成立。
证法一：如下图，在ac上截取ag＝ae，连结fg
因为∠1＝∠2，af为公共边。
可证△aef≌△agf
所以 ∠afe＝∠afg，fe＝fg
由∠b＝60°，ad、ce分别是∠bac、∠bca的平分线。
可得∠2＋∠3＝60°
所以∠afe＝∠cfd＝∠afg＝60°
所以∠cfg＝60°
由∠3＝∠4及fc为公共边，可得△cfg≌△cfd
所以fg＝fd
所以fe＝fd
证法二：如下图，过点f分别作fg⊥ab于点g，fh⊥bc于点h
因为∠b＝60°，且ad、ce分别是∠bac、∠bca的平分线，所以可得∠2＋∠3＝60°，f是△abc的内心。
所以 ∠gef＝60°＋∠1，fg＝fh
又因为 ∠hdf＝∠b＋∠1
所以 ∠gef＝∠hdf
因此可证△egf≌△dhf
所以 fe＝fd
24．解：（1）根据题意，c＝3
所以。解得。
所以抛物线解析式为。
（2）依题意可得oa的三等分点分别为（0，1），（0，2）
设直线cd的解析式为。
当点d的坐标为（0，1）时，直线cd的解析式为。
当点d的坐标为（0，2）时，直线cd的解析式为。
（3）如图，由题意，可得。
点m关于x轴的对称点为。
点a关于抛物线对称轴的对称点为a'（6，3）
连结a'm'
根据轴对称性及两点间线段最短可知，a'm'的长就是所求。
点p运动的最短总路径的长。
所以a'm'与x轴的交点为所求e点，与直线x＝3的交点为所求f点。
可求得直线a'm'的解析式为。
可得e点坐标为（2，0），f点坐标为（3，）
由勾股定理可求出。
所以点p运动的最短总路径（me＋ef＋fa）的长为。
25．解：（1）略。
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长。
已知：四边形abcd中，对角线ac、bd交于点o，ac＝bd
且∠aod＝60°
求证：bc＋ad≥ac
证明：过点d作df∥ac，在df上截取de，使de＝ac
连结ce、be
故∠edo＝60°，四边形aced是平行四边形。
所以△bde是等边三角形，ce＝ad
所以de＝be＝ac
①当bc与ce不在同一条直线上时（如下图）
在△bce中，有bc＋ce＞be
所以bc＋ad＞ac
②当bc与ce在同一条直线上时（如下图）
则bc＋ce＝be
因此 bc＋ad＝ac
综合①、②得 bc＋ad≥ac。
即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长。
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