王贵保。
一、利用拉格朗日中值定理。
1．拉格朗日中值定理：设满足：（1）在闭区间[a, b]上连续；（2）在开区间（a, b）内可导，则有一点（a, b），使得。
2．从上式可以看出，如果能确定了介于某两个数m与m之间，则有如下形式的不等式：
≤≤m因此，欲证形如或构造成为形式的不等式，可用该方法。
例1：证明，当＞0时，有＞.
证明：由原不等式，因为＞0，可改写为＞1的形式，或改写为＞1的形式，这里，区间为[0,]，于是可用拉格朗日中值定理证明。
令， [0,]，则满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在[0,]有。
所以，有不等式＞.
例2：证明不等式＜＜ x＞0）
证明：＝这里，，于是可对在［x, 1+x］上应用拉格朗日中值定理。
令 （x＞0），则在［x, 1+x］上满足中值定理的条件，于是有，即＜＜，使得。
又因为＜＜，知有2）
于是由（1）（2）可得。
二、利用函数的单调性。
1．定义：设在（a, b）内有定义，任取且＜，如有≤则称在（a, b）单调增加，如有≥则称在（a, b）内单调减少。
2．判定单调性的方法：如在（a, b）内的导数＞0，则在（a, b）内单调增加；如导数＜0，则在（a, b）内单调减少。
3．从单调性的定义可以看出，若构造不成的形式，则可利用函数的单调性进行判定证明。
例3：证明，＞0时有＞1+.
证明：令，则＞0所以单调增加，于是当＞0时有＞＝0，即有＞0. 或 ＞1+
例4：证明＞1时，有＞
证明：令，则，由＞1知 ＞0，所以单调增加，于是当＞1时有＞＝0，即得：
三、利用闭区间上的连续函数可以取得最大值与最小值的方法。
1．定理：若在闭区间[a, b]上取得最大值m与最小值m，于是有≤≤m.
2．因此，若在不等式的证明中，如有某一个变量受到限制时，可用该方法。
3．最大值与最小值的求法为：先对求导，得方程＝0，求出其解，比如为，，…然后计算，，…及与，从中取最大者为最大值，最小者为最小值。
例5：证明，当0≤≤1，＞1时有不等式。
证明：这里因有限制，，可见，应求函数在上的最大值及最小值。，可得 .
又 ；，于是有 ≤≤1 .
四、利用函数的凹凸性进行证明。
1．定义：设函数在（a, b）内有定义，如有≤则称函数在（a, b）内为凹函数，如有≥，则称函数在（a, b）内为凸函数；更加一般地，如有≤则称在（a, b）内为凹函数，如有≥，则称在（a, b）内为凸函数。 其中，，…a, b）.
2．因此，如在不等式的证明**现了形如或的形式，可用函数凹凸性来证明。
3．函数凹凸性的判定：如在（a, b）内的二阶导数＞0，则函数为凹函数，如＜0，则函数为凸函数。
例6：证明，当时，有＜ .
证明：由于在所证明的不等式中有的形式，因此可用函数的凹凸性证明，为此，令，则＞0，于是函数为凹函数，从而对任何有。
＜ .即 ＜
注：本例可以推广到如下的不等式，即。
例7：证明，当，，…均匀正数时有。
证明：因为在不等式的左边出现了乘积，，…因此，我们两边取对数变成和的形式，即欲证≥，只须证明。
≥ ，即证： ≥
于是，可令＞0，则有。
＜0 （t＞0）
可见为凸函数，由凸函数的定义可知有。
即有 ≥或 ≥
同学们会在高等数学下册的学习中，学习条件极值，在那里也可以通过构造多元函数的条件极值来证明一些较为复杂的不等式。
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