2.2直接证明与间接证明（教学设计）（3）
2. 2 .2 反证法。
教学目标：知识与技能目标：
结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
过程与方法目标：
多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观目标：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：了解反证法的思考过程、特点。
教学难点：反证法的思考过程、特点。
教学过程：一、复习回顾：
1、综合法的特点是：
由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
2、分析法的特点是：执果索因，即寻找使结论成立的条件。
3、分析法的书写格式：
要证明命题b为真，只需要证明命题为真，从而有……
这只需要证明命题为真，从而又有……
这只需要证明命题a为真。
而已知a为真，故命题b必为真。
二、创设情境、新课引入：
如果用直接证明的方法证明比较困难时，那我们就采用间接证明方法……反证法，
三、师生互动、新课讲解：
1、反证法。
1）定义：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 ( reduction to absurdity )
2）分类。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
3）证明步骤：
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
3）常用的反设（否定）（补集）
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：
与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
例1（课本p42例7）已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
分析：证明：
例2（课本p43例8）已知直线和平面，如果，且，求证。
证明：因为， 所以经过直线a , b 确定一个平面。
因为，而，所以与是两个不同的平面．
因为，且，所以。
下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a 与平面有公共点，则，即点是直线 a 与b的公共点，这与矛盾．所以。
点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推理模式：．
例3、求证：不是有理数。
分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质，”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．
证明：假设不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数，使得，从而有，
因此，所以 m 为偶数．于是可设( k 是正整数），从而有。
即。所以n也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！
由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数．
正是的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。
例4、已知，求证：（且）
证明：假设不大于，即或。
a＞0，b＞0
由。注：应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么？)
a＜b(推理利用了不等式的传递性).
又由。但这些都与已知条件，a＞b＞0相矛盾。
成立。例5、设，求证。
证明：假设，则有，从而。
因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。
一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
课堂练习：（课本p43练习）
四、课堂小结、巩固反思：
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：
(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：
与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
五、布置作业：
a组：1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )
结论相反判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论。
ab．①②cd．②③
解析：应是①②③故选c.
答案：c2．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )
a．假设至少有一个钝角。
b．假设至少有两个钝角。
c．假设没有一个钝角。
d．假设没有一个钝角或至少有两个钝角。
解析：至多有一个的否定是至少有两个，故选b.
答案：b3. 用反证法证明命题“已知，，，则中至少有一个不小于0”反设正确的是 （
a.假设都不大于0 b.假设至多有一个大于0
c.假设都大于0 d.假设都小于0
d 解析：反证法的应用是假设结论不成立，因此要设为“假设都小于0.
4．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为___
解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．
答案：a，b不全为0
5．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是___
解析：“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．
答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角。
b组：1、（课本p44习题2.2 a组 no：3）
2、求证是无理数。 （提示：有理数可表示为）
证：假设是有理数，则不妨设（m,n为互质正整数），从而：，，可见m是3的倍数。
设m=3p（p是正整数），则，可见n 也是3的倍数。
这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）. 不可能，∴是无理数。
3、若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2
反证法：设≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。
4．已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0
ab + bc + ca = a(b + c) +bc < 0 与题设矛盾。
又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
2 2直接证明与间接证明教学设计教案
教学准备 1.教学目标 1 知识与技能 进一步了解直接证明的两种基本方法 综合法与分析法的思考过程 特点。2 过程与方法 进一步运用综合法 分析法证明数学问题。3 情感态度与价值观 通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯。2.教学重点 难点 教学重点 ...
2 2直接证明与间接证明 教学设计 2
2.2直接证明与间接证明 教学设计 2 2.2 1 综合法和分析法 2 分析法。教学目标 知识与技能目标 1 理解分析法证明的概念 2 能熟练地运用分析法证明数学问题 3 综合法与分析法结合使用证明数学问题。过程与方法目标 1 通过实例引导学生理解分析法的思考过程与特点 2 引导学生归纳出分析法证明...
2 2直接证明与间接证明 教学设计 1
2.2直接证明与间接证明 教学设计 1 2.2 1 综合法和分析法 1 综合法。教学目标 知识与技能目标 1 理解综合法证明的概念 2 能熟练地运用综合法证明数学问题。过程与方法目标 1 通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点 2 引导学生归纳出综合法证明的操作流程图。情感 态度与价值观 1 通...