2011-2012学年度第二学期高二年级期中考试。
数学 (理)
时间：120分钟分值：160分。
一、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．将m点的极坐标化为直角坐标为。
2.设的二项展开式中各项系数之和为，其二项式系数之和为，若，则其二项展开式中项的系数为。
3.已知离散型随机变量的分布列如右表．若e(x)=0，v(x)=1，则。
4.化为普通方程式为。
5.已知=++则x
6．将数字1，2，3，4, 5任意排成一列，如果数字恰好出现在第个位置上，则称之为一个巧合，则巧合个数的数学期望是 ．
7．从0，1，2，……9这十个数中，随机抽取3个不同的数组成三位数，则这个三位数能被3整除的概率是。
8.某中学拟于下学期在高一年级开设《矩阵与变换》、《信息安全与密码》、《开关电路与布尔代数》等三门数学选修课，在计划任教高一的名数学教师中，有人只能任教《矩阵与变换》，有人只能任教《信息安全与密码》，另有人只能任教《开关电路与布尔代数》，三门课都能任教的只有人。现要从这名教师中选出人，分别担任这三门课的任课教师，且每门课安排名教师任教。
则不同的安排方案有种。
二．解答题：本大题共8小题 ，共计120分。
9. （14分）已知矩阵，其中，若点在矩阵a的变换下得到点，
1）求实数的值； （2）求矩阵a的特征值及特征向量．
10.（14分）已知曲线： （为参数），：为参数）.
ⅰ）将，的方程化为普通方程；
ⅱ）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线距离的最小值。
11. （16分）现有5名男生、2名女生站成一排照相。
两女生要在两端，有多少种不同的站法？
男生甲、乙、丙中有且仅有两人相邻，且这三名男生不在两端，有多少种不同的站法？
女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？
现有一排八个座位给5名男生坐，若每个空位两边都坐有人，且男生甲两侧人数一样多，共有多少种不同的坐法？
12. （14分）已知曲线：
i）将曲线绕坐标原点逆时针旋转后，求得到的曲线的方程；
ii）求曲线的焦点坐标和渐近线方程。
13．（15分）甲、乙两人各射击一次，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为。假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响。
1）现甲射击3次，设击中目标的次数为x，求x的概率分布列及数学期望e(x)；
2）现两人各射击3次，求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；
3）假设某人连续2次未击中目标，则终止其射击，问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？
14．（ 15分）已知二项式，（n∈n）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，1）求展开式中各项的系数和及奇数项二项式系数和；
2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项。
15．（ 16分）在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．
1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为x，求随机变量x的数学期望；
2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？
16．（ 16分）在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为，判断错误的概率为，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完题后总得分为”．
（1）当时，记，求的分布列及数学期望；
（2）当时，求的概率．
高二数学 (理)答案。
一、填空题。
二．解答题：本大题共8小题 ，共计120分。
9. （14分）已知矩阵，其中，若点在矩阵a的变换下得到点，
1）求实数的值； （2）求矩阵a的特征值及特征向量．
9. .解：（1）由 =
得………4分。
2）由（1）知
则矩阵a的特征多项式为。
令，得矩阵a的特征值为-1或3………8分。
当时二元一次方程。
矩阵a的属于特征值-1的一个特征向量为。
当时，二元一次方程。
∴矩阵a的属于特征值3的一个特征向量为………14分。
10.（14分）已知曲线： （为参数），：为参数）.
ⅰ）将，的方程化为普通方程；
ⅱ）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线距离的最小值。
10.（本小题共14分）
解6分。ⅱ）当时，，故，为直线，m到的距离，所以取得最小值。……14分。
11. （16分）现有5名男生、2名女生站成一排照相。
两女生要在两端，有多少种不同的站法？
男生甲、乙、丙中有且仅有两人不相邻，且这三名男生不在两端，有多少种不同的站法？
女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？
现有一排八个座位给5名男生坐，若每个空位两边都坐有人，且男生甲两侧人数一样多，共有多少种不同的坐法？
11解：⑴两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排
（种4分。把其余四人任意全排列，再从三个男生中选两人**，然后在三个空中（不包括两端）有顺序地插入两个元素。
（种8分。采用去杂法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的个，再去掉女生乙在右端的个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的种排除了两次，要找回来一次
（种12分
甲在中间，其余四人任意全排列，然后在四个空中（不包括两端）插入三个空位。
（种） 答：……16分。
12. （14分）已知曲线：
i）将曲线绕坐标原点逆时针旋转后，求得到的曲线的方程；
ii）求曲线的焦点坐标和渐近线方程。
12.解：（i）由题设条件，即有，解得，代入曲线的方程为。
所以将曲线绕坐标原点逆时针旋转后，得到的曲线是。……7分。
ii）由（1）知，只须把曲线的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转后，即可得到曲线的焦点坐标和渐近线方程。
曲线的焦点坐标是，渐近线方程，变换矩阵，即曲线的焦点坐标是。
而把直线要原点顺时针旋转恰为轴与轴，因此曲线的渐近线方程为和。……14分。
13．（15分）甲、乙两人各射击一次，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为。假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响。
1）现甲射击3次，设击中目标的次数为x，求x的概率分布列及数学期望e(x)；
2）现两人各射击3次，求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；
3）假设某人连续2次未击中目标，则终止其射击，问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？
13．（1）x的分布列为：
5分。2）。答10分。
3）。答15分。
14．（ 15分）已知二项式，（n∈n）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，1）求展开式中各项的系数和及奇数项二项式系数和；
2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项。
14解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，，解得n=83分。
令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)=15分。
奇数项二项式系数和为1287分。
2) 展开式中第r项， 第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为，若第r+1项的系数绝对值最大，则必须满足：
并且 ≤，解得5≤r≤6；
所以系数最大的项为t=179213分。
也可列举出系数为正的各项，再比较大小）
二项式系数最大的项为t=112015分。
15．（ 16分）在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．
1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为x，求随机变量x的数学期望；
2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？
15．解：（1）随机变量x的概率分布如下表：
3分。e（x）=0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×
也可直接用超几何分布的期望公式7分。
2）①上场队员有3名主力，方案有：（）144（种） -6分。
上场队员有4名主力，方案有：（）45（种7分。
上场队员有5名主力，方案有：（）2（种8分。
教练员组队方案共有144＋45＋2=191种16分。
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