第十一章三角形。
11.2 与三角形有关的角。
第一课时 11.2.1 三角形的内角。
1 教学目标。
1.1 知识与技能：
1] 理解并会证明三角形内角和定理，能用三角形内角和定理解决实际问题。
2] 掌握直角三角形的内角的性质，并会根据内角度数判断一个三角形是否为直角三角形。
1.2过程与方法 ：
1] 通过观察、操作等活动，启发出学生证明三角形内角和定理的思路。
2] 通过推导直角三角形内角的性质，锻炼同学用数学语言有条理的表达能力。
1.3 情感态度与价值观 ：
1] 严谨的推理是学习数学的重要环节，培养同学严谨推理的学习习惯。
2] 学会多角度寻求解决问题的途径，在操作中进行自觉思考，积累数学探索的经验。
2 教学重点/难点/易考点。
2.1 教学重点。
1] 三角形内角和定理及其应用。
2] 直角三角形的性质和判定。
2.2 教学难点。
1] 三角形内角和定理的证明。
2] 区分直角三角形的判定定理和性质，避免出现证明时的因果倒置和表述不清。
3 专家建议。
4 教学方法。
实验**——归纳总结——补充讲解——练习提高。
5 教学用具。
多**，三角形纸板（完整的，以及按照两种方法剪好内角并拼接完的）
6 教学过程。
6.1 引入新课。
师】同学们好。这节课开始先问大家一个非常简单的问题，三角形的内角和等于多少度？
生】180度。
师】这个知识大家小学的时候就已经学过了，但是大家有没有想过，所有的三角形内角和都是180°吗？今天我们这节课就先证明一下这个结论。
板书】一、三角形内角和定理。
1. 三角形的内角和为180°。
6.2 新知介绍。
1] 证明三角形内角和定理：思路引导。
生】老师，我们观察任意一个三角形，量出它的内角，都能得到这个结论，为什么还要证明呢，这不是浪费时间吗？
师】这不是浪费时间啊！首先，我们的观察都是有误差的，人眼看东西不可能那么精准！况且不同形状的三角形有无数个，我们一个一个去验证的话，是不可能的。
因此，只有经过令人信服的推理验证，才能完全让人信服这个结论。你们觉得我说的有道理吗？
生】确实是这样啊。
师】既然大家明白了为什么要证明这个定理，下面我们就开始进入正题。为了给大家提供思路，大家先动动手做下面的操作：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下来拼合在一起，就能得到一个平角。
大家试一试，一共有几种拼合的方法呢？给大家两分钟时间自己做。
生】分小组进行操作。
师】你们得到结论了吗？一共有几种做法？
生】一共有两种。
师】（ppt/演示，或者出示准备好的教具）非常好，大家跟老师做的都是一样的吧！下面问题来了：就根据刚才你的操作，你能不能想到证明三角形内角和定理的思路呢？
下面我们开始用两种方法证明它。
2] 第一种证明方法。
师】为了证明这个定理，根据刚才的启发，很重要的就是要拼出来一个平角。但是仅仅有一个三角形的话，这个平角是出不来的。
生】那我们怎么来造这个平角呢？
师】这里我们采用添辅助线的方法。为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。做辅助线是几何证明过程中常用到的方法。
辅助线通常要画成虚线。大家现在往前看（投影或板书），我们过△abc的顶点a，作直线ef∥bc ，现在大家是否能对比之前的第一种内角拼法，看出来我们所需要的平角啦？
板书/**ppt】
1. 证明：
1）证明：如图，过a作直线ef∥bc (添辅助线)
∠b=∠bae (两直线平行，内错角相等)
∠c=∠caf (两直线平行，内错角相等)
又∵∠bae+∠bac+ ∠caf =180°(平角的定义)
∠b+∠c+∠bac=180°
3] 第二种证明方法。
师】我们刚才还**出来了另外一种把三角形三个内角拼成平角的方法。现在根据这个方法，你有没有第二种证明思路呢？
生】还要填辅助线吧。
师】没错。这一次我们延长线段bc至d，这样出来了一条射线bd。但是，我们还是看不出来三个内角拼在一起的样子，所以我们再过点c作射线ce∥ab。大家现在能自己接着往下证明吗？
板书/ppt】
2）证明：如图，过点c作射线ce∥ab（添辅助线）
∠ace=∠a；(两直线平行，内错角相等)
ecd=∠b；(两直线平行，同位角相等)
又∵∠acb+∠ace+∠ecd=180°(平角的定义)
∠a+∠b+∠acb=180°
师】那经过刚才两种方法的证明，现在我们就可以放心大胆地说：三角形三个内角的和等于180°。在一个三角形中，我们只要知道两个内角的度数，就可以求出第三个内角的度数了。
4] 实际应用：方位角。
师】我们现在来看一个实际生活中应用三角形内角和定理的例子（ppt出示题目，或看教材例2）。如图，c岛在a岛的北偏东50°方向，b岛在a岛的北偏东80°方向，c岛在b岛的北偏西40°方向。从c岛看a、b两岛的视角∠acb是多少度？
师】大家应该还记得方位吧，上北下南左西右东。那么，这里北偏东50°到底是指哪个角？北偏东80°呢？北偏西40°呢？（学生回答）
师】那大家既然能把题目翻译成数学语言，这道题就不难了。大家跟老师一起来完成这道题目吧。（板演/ppt）
5] 直角三角形的性质和判定。
师】大家在小学阶段就接触过直角三角形了，想必对它也不陌生。有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。直角三角形用符号“rt△”表示，直角三角形abc可以写成 rt△abc。
师】现在问大家：已知在△abc中，∠c=90°，那么∠a与∠b的和是多少？在一个三角形中，我们只要知道两个内角的度数，就可以求出第三个内角的度数了。
我们可以得到：（ppt或板演推导过程）∠a+∠b=180°－∠c=90°。所以直角三角形的两个内角互余。
板书/ppt】
二、直角三角形的判定和性质。
1. 由三角形内角和定理，得到：
a+∠b+∠c=180°
∠a+∠b=180°－∠c=90°
直角三角形的两个内角互余。
师】现在我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余。反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？我们接着试试看，能不能通过证明得到这个结论。
板书/ppt】
2. 由三角形内角和定理，得到：
a+∠b+∠c=180°
又有∠a+∠b=90°
∠c=180°－（a+∠b）=90°
有两个角互余的三角形是直角三角形。
师】讲到这里希望大家注意，在解题遇到直角三角形的内角的时候，一定要分清谁是原因，谁是结果。请大家看投影，对比和区分我们刚才得到的两个结论。
6] 课堂小结（投影，给出知识脉络图）
6.3 复习总结和作业布置。
1] 课堂练习。
1. 在△abc中，∠a=80°，∠b=∠c ， 则∠c
2. 已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，则这三个内角的度数为和 。
3. 如图，∠c=∠d=90°，bc相交于点e。∠cae和∠dbe有什么关系？为什么？
4. 如图，从a处观测c处时仰角∠cad=30°，从b处观测c处时仰角∠cbd=45°。从c处观测a、b两处时视角∠acb是多少？
5. 三角形的三个内角中至少有个是锐角，至多有个是钝角。
6. 三角形中最大的角不小于 。
7. 如图，在rt△abc中，∠acb=90°，de过点c且平行于ab。若∠bce=35°，则∠a的度数是。
2] 作业布置。
1、完成配套课后练习题。
2、预习提纲：三角形的外角。
7 板书设计。
一、三角形内角和定理。
2. 三角形的内角和为180°。
3. 证明：
1）证明：如图，过a作直线ef∥bc (添辅助线)
∠b=∠bae (两直线平行，内错角相等)
∠c=∠caf (两直线平行，内错角相等)
又∵∠bae+∠bac+ ∠caf =180°(平角的定义)
∠b+∠c+∠bac=180°
2）证明：如图，过点c作射线ce∥ab（添辅助线）
∠ace=∠a；(两直线平行，内错角相等)
ecd=∠b；(两直线平行，同位角相等)
又∵∠acb+∠ace+∠ecd=180°(平角的定义)
∠a+∠b+∠acb=180°
二、直角三角形的判定和性质。
3. 由三角形内角和定理，得到：
a+∠b+∠c=180°
∠a+∠b=180°－∠c=90°
直角三角形的两个内角互余。
4. 由三角形内角和定理，得到：
a+∠b+∠c=180°
又有∠a+∠b=90°
∠c=180°－（a+∠b）=90°
有两个角互余的三角形是直角三角形。
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