第十一讲棋盘中的数学（二）
—棋盘覆盖的问题。
有这样一道竞赛题：
例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？
（a）3×4 （b）3×5 （c）4×4
（d）4×5 （e）6×3
解：通过试验，很容易看到，应选择答案（b）．
这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．
定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数．
证明：①充分性：即已知m，n中至少有一个偶数，求证：m×n棋盘可被2×1骨牌覆盖．不失一般性，设m＝2k，则m×n＝2k×n＝k×
棋盘可被kn个2×1骨牌覆盖．
②必要性：即已知m×n棋盘可以被2×1骨牌覆盖．求证：m，n中至少有一个偶数．若m×n棋盘可被2×1骨牌覆盖，则必覆盖偶数个方格，即mn是个偶数，因此m、n中至少有一个是偶数．
例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？
分析刚一想，31个2×1骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个角后也是62个格，好像很有可能盖住．但只要简单一试，便发现不可能．仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，2×1骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白格．只要发现这个基本事实立即可以找到解答．
解：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62个格中有黑格 32个，白格 30个．另外，如果用2×1骨牌 31张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白格．这与32个黑格数，30个白格数的事实相矛盾．所以，无论如何用这31张2×1的骨牌盖不住这个残角棋盘．
例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：
解：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这两种图形拼成．
图形来拼．
只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例．
说明：排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为一个图形可以用这是“必要条件排除法”．但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，也不表明的就是这种情况．
是3｜n．当3｜n时，设n＝3k，则2×n＝2×3k＝k（2×3）
2×n＝3×x
则3｜2n，但（2，3）＝1，∴3｜n．
思考方法．比如，若3｜n且2｜m时， m×n棋盘可分成若干个2×n棋。
例5 一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最多可以用上面七种图形中的几种？
分析用七个图形，共4×7＝28个方格，要是能拼成 4×7的棋盘，这时采用了小“方块”中的两种．这样试下去，我们会发现，由七种方块中的6种可以拼成4×7棋盘格，如下图所示．但要将七种“方块”每个都只用一次，要拼成4×7棋盘，试几次会发现拼不出来．因此我们会想到，是不是不可能呢？下面我们证明这一点．
证明：用6种“方块”构成4×7棋盘已如上图所示．
下面我们证明不能用七种“方块”各一块构成4×7的长方形棋盘．
将长方形的28个小方格如右图黑、白相间进行染色，则黑、白格各为个白格1个黑格，而其余六种方块图形皆占据黑格、白格各2个．因此，7种方块图形占据的黑白格数必都是奇数，不会等于14．
综上所述，要拼成4×7的方格，最多能用上七种“方块”中的6种图形．
例6 由×3的小正方形拼成一个23×23的大正方形，在所有可能的拼法中，利用1×1的正方形最少个数是多少？试证明你的结论．
解：用1×1的正方形至少一个．
第一步：中心放一个1×1的正方形，剩下的4个11×12的矩形，是可以用6个2×2正方形和12个3×3正方形拼成的，如下图所示．
第二步：不用1×1而只用2×2与3×3的正方形是拼不成的．将23×23的大正方形的1，4，7，10，13，16，19，22各行染红色，其余各行染蓝色如下图．任意2×2或3×3正方形都将包含偶数个蓝色小格，但蓝格总数是23×15，是个奇数，矛盾．所以不用1×1的小正方形是拼不成23×23棋盘的．
综上所述，要拼成23×23棋盘，至少要用一个1×1的小正方形．
解：如右图用黑白二色相间涂染8×8棋盘，总计有 32个黑格及32个白格．
当我们把“田”放入棋盘时，一定盖住两个小黑格及两个小白格．
盖住奇数个（3个，或1个）白格．
骨牌共盖住：奇数＋2＝奇数个白格．这与8×8棋盘上共有32个白格的总数相矛盾．
关于棋盘的覆盖问题我们简单介绍到这里，并且只是个别的例题，作为入门的先导罢了！
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