九有趣的数阵。
数阵是一种由幻方演变而来的数字图。数阵可分为辐射型和封闭型两种。填数阵时，一般优先考虑正中间的数或顶角上的数。
问题9.1 把1～9九个数分别填入图9-1中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等。
分析从图9-1中可以看出，中间圆圈所填的数是四条直线上公用的，它是一个用了4次的数。因此，我们在思考时，应先把中间圆圈内的数填出来。怎样确定这个数呢？
设中间圆圈内的数为x，在计算四条直线上数的总和时，它多加了3次，又因为四条直线上的数的总和是4的倍数，所以。
1+2+3+…+7+8+9+3x=45+3x
应能被4整除，这样x只能是.
当中间圆圈填1时，每条直线上三个数的和是12；当中间圆圈填5时，每条直线上三个数的和是15；当中间圆圈填9时，每条直线上三个数的和是18.这样就可以正确地填出结果了。
解适合题目要求的填法共有以下三种：
问题9.2 图9-2是一个六角星，把1～12这12个数填在六角星的○内(每个数字只许用一次).现在已经填入了六个数，其它六个○内填什么数才能使每条边上四个数的和都相等？
分析图9-2中共有12个圆圈，每个圆圈都恰好有两条直线通过。因此，在计算六条直线上数的总和时，每个圆圈内的数都计算了两次。而(1+2+3+…+11+12)×2=156，所以每条直线上四个数的和应是156÷6=26.
先填出图中a、b、c三个圆圈中的数，其余的三个圆圈内的数就不难填出了。
解见图9-3.
问题9.3 在图9-4(1)中，同一个圆圈内四个数的和都是15.请在图(2)中的空白部分填上适当的数)，使每个圆圈内四个数的和仍然等于15.
分析根据圆圈已有的数字和1.可以肯定中间空白部分填的数必然大于1而小于5.符合这个条件的只有2和3.
如果中间数是2.那么4+1+2+7＜15，不符合题意。所以中间数应是3，这样就可以很快填出其它数了。
解填法如图9-5.
问题9.4 把1～8这八个数分别填入图9-6中的八个○内，使每个圆圈上五个数的和都等于21.
分析设两个圆交叉点上的两个○内各填的数是a、b，那么，在计算两个大圆周上10个数的和时，a和b都多加了一次，根据题目的要求，1+2+3+…+7+8+a+b=36+(a+b)除以2应是21，所以a+b=6.但在1～8这8个数中，只有+4=6两种情况。如果中间两个○内分别填1和5，另外同一圆周上三个○内的数的和应是21-(1+5)=15.
在这六个数中三个数之和是15的只有+4+8=15两种。如果中间两个○填2和4，其它的数可分为两组和.因此，可得出如上所述的四种填法。
解略。问题9.5 用1～9这九个数字填入图9-7的○内。使三角形的每条边上四个数的和部等于17，或.除上述数外，还可能等于其它数吗？
分析如果三角形每条边上四个数的和是17.那么三条边上的数字的和就是17×3=5l，但-45=6，这是因为三个顶点上的数字都计算了两次，所以可以肯定。三个顶点的数的和是6.
而和为6的三个数只能是.各边上另两个数的填法就不难推算了。
至于和为的填法与上述和为17的分析方法相类似，请同学自己完成。
另：除以外，要使三角形每条边上四个数的和都相等，不能有其它数。
解略。问题9.6 请你在图9-8的4×4方格中填上适当的数字，使图中每条直线上的四个数字之和都相等。
分析要使图中每条直线上的四个数字之和都相等，那么每一行、每一列及两对角线上的四个数字只能是，并且每一个数字在同一直线上只能出现一次。根据这一特点，可以采取尝试推导法，逐步填出图中各空格上的数。
如图9-8(2)，a格中只能填8或3，若a格填8，则b格只能填3或9，尝试b格只能填3，这样c格必须填9，d格只能填1，e、f两格应分别填.至此，剩下的空格便可顺利填出了。
如果a格中填3，仿上采用尝试推导法，也可得到另一填法(略).
解符合条件的一种填法如图9-9.
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