（全国卷ⅰ）2023年高考数学压轴卷文（含解析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则集合＝（
a． b． c． d．
2． 已知复数满足，则
a． b．5 c． d．10
3．下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）
abcd.
4．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为，课间休息10分钟。某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（ ）
abcd.
5．函数的最小正周期是（ ）
a. b. c. d.
6．若，则，，，的大小关系为（ ）
a. b.
c. d.
7． 若实数，满足条件，则的最大值为
a．10 b．6 c．4 d．
8． 已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为
a． b． c． d．
9． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为
a．7 b．9c．10 d．11
10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（ ）
ab. 5cd. 6
11．中，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是
a． b． c． d．
12． 在四面体中，，，则它的外接球的面积
a． b． c． d．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．数列中，且满足。，数列的通项公式
14． 已知是上的偶函数，且在，单调递增，若（4），则的取值范围为。
15．在中，角的对边分别为，的等差中项且，的面积为，则的值为。
16．已知抛物线的焦点是，直线交抛物线于两点，分别从两点向直线作垂线，垂足是，则四边形的周长为。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17）（本小题满分12分）
在右图所示的四边形abcd中，∠bad＝90°，bcd＝150°，∠bac＝60°，ac＝2，ab＝＋1．
ⅰ）求bc；
）求△acd的面积．
18）（本小题满分12分）
二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售**y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：
ⅰ）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：＝，
ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购**为w＝0.05x2－1.75x＋17.2万元，根据（ⅰ）中所求的回归方程，**x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？
19）（本小题满分12分）
在四棱锥p-abcd中，△pad为等边三角形，底面abcd等腰梯形，满足ab∥cd，ad＝dc＝ab＝2，且平面pad⊥平面abcd．
ⅰ）证明：bd⊥平面pad；
ⅱ）求点c到平面pbd的距离．
20）（本小题满分12分）
已知动点p到直线l：x＝－1的距离等于它到圆c：x2＋y2－4x＋1＝0的切线长（p到切点的距离）．记动点p的轨迹为曲线e．
ⅰ）求曲线e的方程；
ⅱ）点q是直线l上的动点，过圆心c作qc的垂线交曲线e于a，b两点，问是否存在常数λ，使得|ac|·|bc|＝λqc|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝ln(mx)－x＋1，g(x)＝(x－1)ex－mx，m＞0．
ⅰ）若f(x)的最大值为0，求m的值；
ⅱ）求证：g(x)仅有一个极值点x0，且ln(m＋1)＜x0＜m．
请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程。
在直角坐标系xoy中，m(－2，0)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，a(ρ，为曲线c上一点，b(ρ，bm|＝1．
ⅰ）求曲线c的直角坐标方程；
ⅱ）求|oa|2＋|ma|2的取值范围．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。
已知a＞b＞c＞d＞0，ad＝bc．
ⅰ）证明：a＋d＞b＋c；
ⅱ）比较aabbcddc与abbaccdd的大小．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】c
解析】根据题意可得，，解得，满足题意，所以集合＝．故选c．
2． 【答案】c
解析】：，故选：．
3．【答案】d
解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项： 为非奇非偶函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，且是上的增函数，故选d.
4．【答案】a
解析】由题意知第二节课的上课时间为 ，该学生到达教室的时间总长度为分钟，其中在进入教室时，听第二节的时间不少于分钟，其时间长度为分钟，故所求的概率，故选a.
5．【答案】c
解析】 因为。
所以其最小正周期为，故选c.
6．【答案】d
解析】因为，所以。
所以，.综上：.
7．【答案】b．
解析】：先根据实数，满足条件画出可行域如图，做出基准线，由图知，当直线过点时，最大值为：6．故选：．
8． 【答案】c
解析】：根据双曲线的性质可得，中在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，，解得，，，故选：．
答案】b解析】：模拟程序的运行，可得：否；否；
否；否；
是，输出，故选：b．
10．【答案】c
解析】 由三视图可知，该几何体是四棱锥，如图所示，其中侧棱平面，则，所以该几何体的最长的棱的长度为，故选c．
11． 【答案】b．
解析】中，，，
以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，如图所示，设点为，①
直线的方程为，②，联立①②，得，此时最大，故选：b．
12． 【答案】d
解析】：如下图所示，，由勾股定理可得，所以，，设的中点为点，则，则点为四面体的外接球球心，且该球的半径为，因此，四面体的表面积为．故选：d．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
解析】 由题意，，所以为等差数列。设公差为，由题意得，得。
14．【答案】．
解析】：是上的偶函数，且在，单调递增，不等式（4）等价为（4），即，即，得，即实数的取值范围是，故答案为：
15．【答案】.
解析】由的等差中项，得。 由正弦定理，得， ，由所以， .由，得。 由余弦定理，得，即，故答案为．
16．【答案】.
解析】由题知， ，准线的方程是 . 设 ，由 ，消去， 得 . 因为直线经过焦点，所以 .
由抛物线上的点的几何特征知 ，因为直线的倾斜角是 ，所以 ，所以四边形的周长是 ，故答案为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17）（本小题满分12分）
答案】（ⅰ在s△acd＝1
解析】（ⅰ在△abc中，由余弦定理得bc2＝ab2＋ac2－2ab·accos∠bac＝6，所以bc
）在△abc中，由正弦定理得＝，则sin∠abc＝，又0°＜∠abc＜120°，所以∠abc＝45°，从而有∠acb＝75°，由∠bcd＝150°，得∠acd＝75°，又∠dac＝30° ，所以△acd为等腰三角形，即ad＝ac＝ 2，故s△acd＝1
18）（本小题满分12分）
答案】（ⅰ1.45x＋18.7（ⅱ）x＝3
解析】（ⅰ由已知：＝6，＝10，＝242，＝220，＝－1.45，＝－18.7
所以回归直线的方程为＝－1.45x＋18.7
ⅱ）z＝－1.45x＋18.7－(0.05x2－1.75x＋17.2)
－0.05x2＋0.3x＋1.5
－0.05(x－3)2＋1.95，所以**当x＝3时，销售利润z取得最大值．
19）（本小题满分12分）
答案】（ⅰ见解析（ⅱ）
解析】（ⅰ在梯形abcd中，取ab中点e，连结de，则。
de∥bc，且de＝bc．
故de＝ab，即点d在以ab为直径的圆上，所以bd⊥ad．
因为平面pad⊥平面abcd，平面pad∩平面abcd＝ad，bd平面abcd，所以bd⊥平面pad
ⅱ）取ad中点o，连结po，则po⊥ad，因为平面pad⊥平面abcd，平面pad∩平面abcd＝ad，所以po⊥平面abcd．
由（ⅰ）可知△abd和△pbd都是直角三角形，所以bd＝＝2，于是。
s△pbd＝pdbd＝2，s△bcd＝bccdsin120°＝，易得po＝，设c到平面pbd的距离为h，由vp-bcd＝vc-pbd得s△pbdh＝s△bcdpo，解得h
20）（本小题满分12分）
答案】（1）y2＝6x （ⅱ
解析】（ⅰ由已知得圆心为c(2，0),半径r＝．设p(x，y)，依题意可得。
x＋1 |＝整理得y2＝6x．
故曲线e的方程为。
ⅱ）设直线ab的方程为my＝x－2，则直线cq的方程为y=－m(x－2)，可得q(－1，3m)．设a(x1，y1)，b(x2，y2)．
将my＝x－2代入y2＝6x并整理得y2－6my－12＝0，那么y1y2＝－12， …8分。
则|ac|·|bc|＝(1＋m2) |y1y2 |＝12(1＋m2)，|qc|2＝9(1＋m2)．即|ac|·|bc|＝|qc|2，所以λ＝．
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