2024年普通高等学校招生全国统一考试(02)
1） 若，则在( )
a）第。一、二象限 （b）第。
一、三象限 （c）第。
一、四象限 （d）第。
二、四象限。
2）过点且圆心在直线上的圆的方程是( )
a） （b）
c） （d）
3）设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
a）1 （b）2 （c）4 （d）6
4）若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是( )
a）（0，） b）（0， （c）（，d）（0，+）
5)极坐标方程的图形是( )
abcd）6）函数的反函数是( )
a） （b）
c） （d）
7）若椭圆经过原点，且焦点为，则其离心率为( )
a） （b） （c） （d）
8）若，，，则( )
a） （b） （c）（d）
9）在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为( )
a）60° （b）90° （c）105° （d）75°
10）设都是单调函数，有如下四个命题：
若单调递增，单调递增，则单调递增；
若单调递增，单调递减，则单调递增；
若单调递减，单调递增，则单调递减；
若单调递减，单调递减，则单调递减；
其中，正确的命题是。
a） （b） （c） （d）
11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜。记三种盖法屋顶面积分别为。
若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则( )
a）（b）（c）（d）
12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。
则单位时间内传递的最大信息量为( )
a）26 （b）24
c）20 （d）19
13）若一个椭圆的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个椭圆的侧面积是
14）双曲线的两个焦点为，点在双曲线上。若⊥，则点到x轴的距离为 .
15）设是公比为的等比数列，是它的前n项和。若是等差数列，则。
16）圆周上有2n个等分点（），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .
17) 如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，°，面，ⅰ)求四棱锥的体积；
ⅱ)求面与面所成的二面角的正切值。
18) (本小题满分12分)
已知复数。ⅰ)求及；
ⅱ)当复数满足，求的最大值。
19）(本小题满分12分)
设抛物线的焦点为f，经过点f的直线交抛物线于两点。 点在抛物线的准线上，且∥x轴。 证明直线经过原点。
20）(本小题满分12分)
已知是正整数，且。
ⅰ)证明；ⅱ)证明。
21) (本小题满分12分)
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业。根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少。 本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。
ⅰ)设n年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元。 写出的表达式；
ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
22) (本小题满分14分)
设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且。
ⅰ)求及；ⅱ)证明是周期函数；
ⅲ)记，求。
2024年普通高等学校招生全国统一考试。
数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准。
说明：一。 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二。 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三。 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四。 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一。选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
1）b （2）c3）b4）a （5）c
6）a （7）c8）a9）b （10）c
11）d （12）d
二。填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
13）21415）116）2n (n－1)
三。解答题：
17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．
解：（ⅰ直角梯形abcd的面积是。
m底面2分。
四棱锥s—abcd的体积是。
m底面。4分。
ⅱ）延长ba、cd相交于点e，连结se则se是所求二面角的棱． …6分。
ad∥bc，bc = 2ad， ea = ab = sa，∴ se⊥sb， sa⊥面abcd，得seb⊥面ebc，eb是交线，又bc⊥eb，∴ bc⊥面seb，故sb是cs在面seb上的射影， cs⊥se，所以∠bsc是所求二面角的平面角10分。
，bc =1，bc⊥sb， tan∠bsc ．
即所求二面角的正切值为12分。
18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．
解：（ⅰz1 = i (1－i) 3 = 2－2i，将z1化为三角形式，得。
6分。（ⅱ）设z = cos α＋i sin α，则。
z－z1 = cos α－2)＋(sin α＋2) i，9分。
当sin() 1时，取得最大值．
从而得到的最大值为12分。
19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．
证明一：因为抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为f (，0)，所以经过点f的直线的方程可设为。
4分。代入抛物线方程得。
y2 －2pmy－p2 = 0，若记a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以。
y1y2 = p28分。
因为bc∥x轴，且点c在准线x = 上，所以点c的坐标为（－，y2），故直线co的斜率为。
即k也是直线oa的斜率，所以直线ac经过原点o．
12分。证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为e，过a作ad⊥l，d是垂足．则。
ad∥fe∥bc． …2分。
连结ac，与ef相交于点n，则。
6分。根据抛物线的几何性质，8分，即点n是ef的中点，与抛物线的顶点o重合，所以直线ac经过原点o． …12分。
20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．
ⅰ）证明： 对于1＜i≤m有。
m·…·m－i＋1)，同理4分。
由于 m＜n，对整数k = 1，2…，i－1，有，所以，即6分。
ⅱ）证明由二项式定理有。
8分。由 (ⅰ知＞(1＜i≤m＜n＝，而10分。
所以， (1＜i≤m＜n＝．
因此，．又，，．
即 (1＋m)n＞(1＋n)m12分。
21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．
解：（ⅰ第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－）万元，……第n年投入为800×（1－）n－1万元．
所以，n年内的总投入为。
an = 800＋800×（1－）＋800×（1－）n－1
4000×[1－()n3分。
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋）万元，……第n年旅游业收入为400×（1＋）n－1万元．
所以，n年内的旅游业总收入为。
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