理科数学。
第ⅰ卷。一、选择题。
1．设集合，（
a． bc． d．
2．设且，若复数是实数，则（ ）
a． b． c． d．
3．函数的图像关于（ ）
a．轴对称b． 直线对称
c． 坐标原点对称 d． 直线对称。
4．若，则（ ）
a． <5．设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）
abc． d．
6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）
a． b． c． d．
7．的展开式中的系数是（ ）
a． bc．3d．4
8．若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ）
a．1 b． c． d．2
9．设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
10．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
a． b． c． d．
11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）
a．3 b．2 c． d．
12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
a．1bcd．2
第ⅱ卷。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．设向量，若向量与向量共线，则 ．
14．设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
15．已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于 ．
16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件。充要条件。
写出你认为正确的两个充要条件）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在中，，．ⅰ）求的值；
ⅱ）设的面积，求的长．
18．（本小题满分12分）
购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．
ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；
ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
19．（本小题满分12分）
如图，正四棱柱中，，点在上且．
ⅰ）证明：平面；
ⅱ）求二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
设数列的前项和为．已知，，．
ⅰ）设，求数列的通项公式；
ⅱ）若，，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与ab相交于点d，与椭圆相交于e、f两点．
ⅰ）若，求的值；
ⅱ）求四边形面积的最大值．
22．（本小题满分12分）
设函数．ⅰ）求的单调区间；
ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
2024年参***和评分参考。
一、选择题。
1．b 2．a 3．c 4．c 5．d 6．d
7．b 8．b 9．b 10．c 11．a 12．c
部分题解析：2. 设且，若复数是实数，则（ ）
a． b． c． d．，解： （考查和的立方公式，或二项式定理）
考查虚数单位的运算性质）
题设条件）∵且。
（←考查复数与实数的概念）
故选a.6. 从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）
a． b． c． d．
思路1：设事件a：“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”，其概率为：
（←考查组合应用及概率计算公式）
考查组合数公式）
（←考查运算技能）
故选d.思路2：设事件a：“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”，事件a的对立事件为：“选到的3名同学中要么全男同学要么全女同学”
其概率为：（←考查对立事件概率计算公式）
（←考查组合应用及概率计算公式）
←考查组合数公式）
（←考查运算技能）
故选d.12.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
a．1bcd．2
分析：如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆，想成一般情况，问题解决起来就比较麻烦，许多考生就是因为这样思考的，所以浪费了很多时间才得道答案；但是，如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆，想成其中一个恰好是大圆，那么两圆的圆心距就是球心到另一个小圆的距离，问题解决起来就很容易了。
二、填空题。
16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
三、解答题。
17．解：ⅰ）由，得，由，得．
所以． 5分。
ⅱ）由得，由（ⅰ）知，故， 8分。
又，故，．所以． 10分。
18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人**险的人数为，则．
ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， 2分。
又，故． 5分。
ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出。盈利。
盈利的期望为 ， 9分。
由知，元）．
故每位投保人应交纳的最低保费为15元． 12分。
19．解法一：
依题设知，．
ⅰ）连结交于点，则．
由三垂线定理知，． 3分。
在平面内，连结交于点，由于，故，与互余．
于是．与平面内两条相交直线都垂直，所以平面． 6分。
ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，故是二面角的平面角． 8分。
又，．所以二面角的大小为． 12分
解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．
依题设，． 3分。
ⅰ）因为，故，．
又，所以平面． 6分。
ⅱ）设向量是平面的法向量，则。
故，．令，则，，．9分。
等于二面角的平面角，所以二面角的大小为． 12分。
20．解：ⅰ）依题意，，即，由此得． 4分。
因此，所求通项公式为。
．① 6分。
ⅱ）由①知，于是，当时，当时，又．
综上，所求的的取值范围是． 12分。
21．（ⅰ解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，． 2分。
如图，设，其中，且满足方程，故．①
由知，得；由在上知，得．
所以，化简得，解得或． 6分。
ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为， 9分。
又，所以四边形的面积为。
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分。
解法二：由题设，，．
设，，由①得，故四边形的面积为。
9分。当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分。
22．解：ⅰ）．2分。
当（）时，，即；
当（）时，，即．
因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数． 6分。
ⅱ）令，则。
故当时，．又，所以当时，，即． 9分。
当时，令，则．
故当时，．因此在上单调增加．
故当时，即．
于是，当时，．
当时，有．因此，的取值范围是． 12分。
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