一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上).
1. 设复数满足(为虚数单位)，则=(
a. b. c. d.
1. 【答案】b
命题意图】本题考查复数运算、复数相等的知识的考查。
解析】或用复数相等解答。
2. 若空集，其中，则实数取值集合( )
a. b. c. d.
答案】c命题意图】本题考查空集是非空集合的真子集，用数形结合方法处理一元二次不等式解讨论。
解析】有实解，，∴
3. 设为等比数列，其中是方程两实根，则=(
a. 2bc. 1d.
答案】d命题意图】本题考查等比数列的基本特征，一元二次方程根与系数关系。
解析】∵又∵同号，∴
4. 如图，一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )
abcd. 1
答案】a命题立意】考查三视图基本知识和空间想象能力。
解析】该几何体的空间图形为正三棱锥o—abc(如图)
且oa、ob、oc两两相互垂直，长度均为1，.
5. 若正实数满足，则的最小值为( )
ab. cd.
5. 【答案】b
命题意图】本题考查基本不等式应用。
解析】当时取等号。
6. 设函数，则=(
a. 0.5b. 1.5 c. 2d. 2.5
答案】a命题意图】本题考查分段函数、周期函数定义。
解析】7. 若方程根，则整数=(
a. 1b. 2c. 3d. 4
答案】a命题意图】本题考查函数零点的分布，数形结合思想。
解析】由图象可知，
又令，故。8.，则=(
a. bc. d.
答案】b命题意图】本题考查函数定义域、值域结合的运算。
解析】 ∴9. 过点作曲线的切线，则切线，轴及曲线所围成的封闭图形的面积为( )
ab. c. 4d. 6
答案】b命题立意】本题考查用导数求切线和定积分计算曲边图形的面积。
解题思路】∵
令得，令得。
10. 执行右边程序框图，输出=(
a. 10b. 20
c. 30d. 40
答案】c11. 用三种颜色随机取一种涂矩形(一个矩形只涂一色)，那么相邻矩形
涂不同色的概率为( )
a. b. c. d.
答案】b命题立意】本题考查古典概率，考查分类讨论思想。
解析】分1，3涂同色，与1，3不同色两类。
12. 设函数在r上有意义，对于给定的正数，定义函数，取函数，若对任意的恒有，则的最小值为( )
ab. 1cd. 2
答案】b命题意图】本题考查新概念的理解、函数导数、单调性综合能力考查。
解析】恒成立。当；当 ∴
二、填空题。
15. 长方体表面积为6，则它的外接球面积最小值为。
答案】命题意图】本题考查简单几何组合体，用不等式求最值方法。
解析】长方体长、宽、高为a、b、c，则。
16. 已知函数的部分图象如图所示，分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为。点r的坐标为，则= .
16. 本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识。
解：由题意得，.
因为在的图象上，所以。
又因为，所以。
连接pq，在中，，由余弦定理得。
解得。又因为，所以。
三、解答题：本大题共6小题，共90分。
17. (本题满分14分)
某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
求的值；现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
已知，求初三年级中学生比男生多的概率。
17. ⑴名）；
由题意和⑴可知，初。
一、初二年级各有学生750名，初三年级学生为2000-750-750=500（名），故采用分层抽样方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取（名）.
当，时，初三年级中男、女人数的所有可能组合为：
所有可能组合有11种，其中女生比男生多的组合有5种，故初三年级中女生比男生多的概率为。
18. 【解题思路】⑴由已知易得。，∴
即。又∵平面，平面，∵.
平面，∵平面，∴
取ad的中点为f，连结bf，ef.，∴且，四边形是平行四边形，即。
平面，∴平面。
e、f分别是pa、ad的中点，，∵平面，平面，∵，平面平面。
平面，∴平面。
由已知得，所以，
19. (本题满分16分)
如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点。再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，记点的坐标为().
试求与的关系；⑵求。
19. 【命题立意】本题主要考查函数的导数应用及等比数列等基础知识，同时考查考生的计算能力及综合运用知识分析问题、解决问题的能力和创新意识。
解：⑴设，由得点处切线方程为，由得。
由，得，所以，于是。
18. (本题满分14分)
如图，已知是直角梯形，
证明：；若是的中点，证明：平面；
若，求三棱锥的体积。
20. (本题满分14分)
如图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程是。
求该椭圆的标准方程；
设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为。问：是否存在定点，使得与点到直线的距离之比为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由。
20. 【解题思路】⑴由，解得，故椭圆的标准方程为。
设，则由得。
即。因为点m，n在椭圆上，所以。
故。设分别为直线的斜率，由题设条件知，因此，所以。
所以p点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率，直线是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得与点到直线的距离之比为定值。
21. (本题满分14分)
已知函数，它们的定义域是，其中是自然对数的底，.
当时，求函数的最小值；
当时，求证：对一切恒成立；
是否存在实数，使得的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。
21. 【解题思路】⑴当时，.，令，得。
列表：当时，.
由⑴知：当，有。，∴
在区间上为增函数。
当时，.对一切恒成立。
假设存在实数，使的最小值是3，.
当时，∵，在上为减函数。
当时， ∴舍)
当时，若时，，在上为减函数。
若时，，在上为增函数。
当时，，∴假设成立，存在实数，使得的最小值是3.
22．已知中，是外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至。
求证：的延长线平分；
若，中边上的高为，求外接圆的面积。
22. ⑴如图，设f为ad延长线上一点。
a，b，c，d四点共圆，∴.
又，∴，且，∴.
对顶角，故。
即的延长线平分。
设为外接圆圆心，连接交于，则。
连接，由题意，.
设圆半径为，则，得，外接圆面积为。
23. 已知直线与圆(为参数)，试判断它们的公共点个数。
解析】圆的方程可化为，其圆心为，半径为2.
由于圆心到直线的距离，故直线与圆的公共点个数为2.
24. 解不等式。
解析】当时，原不等式可化为，解得。
又∵，∴不存在；
当时，原不等式可化为，解得。
又∵，∴当时，原不等式可化为，解得。
又∵，∴综上，原不等式的解集为。
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