2012江苏高考最后一卷。
数学ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．
1．若函数的最小正周期是，则 ▲
2．若复数是纯虚数，则实数的值是 ▲
3．已知平面向量，，且，则实数 ▲
4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 ▲
5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为 ▲
6．给出下列四个命题：
1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交。
2）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面。
3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直。
4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面。
真命题的序号是 ▲ 写出所有真命题的序号）
7．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为 ▲
8．已知二次函数的值域是，则的最小值是 ▲
9．设函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 ▲
10．若动点在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则的取值范围是 ▲
11．在中，边上的中线，若动点p满足，则的最小值是 ▲
12．设是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在次不动点．若函数在区间上存在次不动点，则实数的取值范围是 ▲
13．将所有的奇数排列如右表，其中第行第个数表示为，例如．若，则 ▲
14．若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，则线段长度的最大值是 ▲
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知△中，∠a，∠b，∠c的对边分别为，且．
1）求角的大小；
2）设向量，，求当取最大值时，的值．
16．（本小题满分14分）
如图，直四棱柱中，底面abcd是直角梯形，，，
1）求证：是二面角的平面角；
2）在a1b1上是否存一点p，使得dp与平面bcb1与平面acb1都平行？证明你的结论．
17．（本小题满分14分）
某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为），其它费用为每小时元，根据市场调研，得知的波动区间是，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．
1）请将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数；
2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
18．（本小题满分16分）
已知中心在原点、焦点在轴上的椭圆过点，离心率为．如图，平行于的直线交椭圆于不同的两点．
1）当直线经过椭圆的左焦点时，求直线的方程；
2）证明：直线与轴总围成等腰三角形．
19．（本小题满分16分）
已知函数，其中常数．
1）求的单调区间；
2）如果函数在公共定义域d上，满足，那么就称为与的“和谐函数”．设，求证：当时，在区间上，函数与的“和谐函数”有无穷多个．
20．（本小题满分16分）
已知无穷数列的各项均为正整数，为数列的前项和．
1）若数列是等差数列，且对任意正整数都有成立，求数列的通项公式；
2）对任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是1至全体正整数组成的集合．
（i）求的值；（ii）求数列的通项公式．
数学ⅱ（附加题）
21．【选做题】在a、b、c、d四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
a．选修：几何证明选讲。
如图，设为⊙o的任一条不与直线垂直的直径，是⊙o与的公共点，ac⊥，bd⊥，垂足分别为c、d，且，求证：平分∠abd．
b．选修：矩阵与变换。
已知矩阵的一个特征值为，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
c．选修：坐标系与参数方程。
若直线（参数）与圆（参数，为常数）相切，求的值．
d．选修：不等式选讲。
若对于一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
一个口袋装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中绿球的个数记为．
1）求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率；
2）的分布列及的数学期望．
23．（本小题满分10分）
已知数列中，，．
1）求证：；
2）求证：当时，．
2012江苏高考最后一卷。
试题答案与评分标准。
数学ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．【解析】本题主要考查三角函数的周期性．
答案】22．【解析】本题主要考查复数的概念和运算．
答案】3．【解析】本题主要考查平面向量的垂直．
答案】34．【解析】本题主要考查古典概型．
答案】5．【解析】本题主要考查流程图．
答案】6．【解析】本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系．
答案】（3）（4）
7．【解析】本题主要考查圆锥曲线中离心率的计算．
答案】8．【解析】本题主要考查基本不等式．
答案】39．【解析】本题主要考查函数的性质．
答案】10．【解析】本题主要考查线性规划．
答案】解答如下：
画出可行域（如图所示阴影部分），而，其中表示与点连线的斜率，由图可知，故。
11．【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积．
答案】解答如下：
因为且，所以点p**段上，故，设，则，当时取最小值。
12．【解析】本题主要考查函数的概念和最值．
答案】解答如下：
由题意，存在，使．当时，使；当时，解得．设，则由，得或（舍去），且在上递增，在上递减．因此当时，，所以的取值范围是．
13．【解析】本题主要考查数列的通项．
答案】34解答如下：
可以求得通项，所以且，从而，解得，于是，故。
14．【解析】本题主要考查直线与圆的方程及位置关系．
答案】解答如下：
由题可知动直线过定点．设点，由可求得点的轨迹方程为圆，故线段长度的最大值为。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．本题主要考查平面向量的数量积、边角关系的互化，考查运算求解能力．
解：（1）由题意2分。
所以3分。因为，所以。
所以5分。因为，所以6分。
2）因为8分。
所以10分。
所以当时，取最大值。
此时（），于是12分。
所以14分。
16．本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．
证明：（1） 直棱柱中，bb1⊥平面abcd，bb1⊥ac2分。
又∠bad＝∠adc＝90°，，bc⊥ac5分。
平面，∴是二面角的平面角7分。
2）存在点p，p为a1b1的中点8分。
由p为a1b1的中点，有pb1‖ab，且pb1＝ab．
又∵dc‖ab，dc＝ab，dc ∥pb1，且dc＝ pb1，dc pb1为平行四边形，从而cb1∥dp11分。
又cb1面acb1，dp 面acb1，dp‖面acb112分。
同理，dp‖面bcb114分。
17．本题主要考查，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．
解：（1）由题意，每小时的燃料费用为1分。
从甲地到乙地所用的时间为小时2分。
则从甲地到乙地的运输成本，即6分。
28分。令，得（负值舍去）
当时，关于单调递减。
当时，关于单调递增9分。
所以，当即时，时取最小值11分。
当即时，时取最小值 ……13分。
综上所述，若，则当货轮航行速度为海里/小时时，运输成本最少；若，则当货轮航行速度为50海里/小时时，运输成本最少． …14分。
18．本题主要考查直线的方程及椭圆的标准方程，考查数**算求解能力、综合分析问题的能力．
解：（1）根据，可设椭圆方程为，将代入可得，所以椭圆的方程为4分。
因此左焦点为，斜率。
所以直线的方程为，即6分。
（2）设直线的斜率分别为，则，10分。
设，由，得。
所以13分。
代入（*）式，得。
所以直线与轴总围成等腰三角形16分。
19．本题主要考查导数的运算及其在研究函数性质、不等式与方程中的运用，考查探索、分析及求证能力．
解：（1） ，常数）
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