2012 高考数学信息卷三。
一、填空题。
1. 已知，则=.
提示：依题意得，又，则。
2. 已知函数，若，则的取值范围是（-1,3）.
提示：由题知，，若，则9+，即，解得。
3. 如图所示，点是函数图象的最高点，、是图象与轴的交点，若，则= .
提示：依题意得，所以是等腰直角三角形，又斜边上的高为2，因此有=4, 即该函数的最小正周期的一半为4，所以，.
4. 已知{}是等比数列，则的最小值为 4 .
提示： 因为{}是等比数列，所以可设。因为，所以，解得。所以。因为，所以。
5.在中，为中点，,则=.
提示：在和中分别使用正弦定理即可。
6. 在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为 6 .
提示：点在以为焦点的椭圆上，分别在、、
、、上。 或者，若在上，设，有。
故上有一点（的中点）满足条件。
同理在、、、
上各有一点满足条件。
又若点在上上，则。
故上不存在满足条件的点，同理上不存在满足条件的点。
7. 已知、是椭圆和双曲线的公共顶点。是双曲线上的动点，是椭圆上的动点（、都异于、），且满足，其中，设直线、、、的斜率分别记为、、、则 -5 .
提示：设、，，由。
得，即。 ，
二、解答题。
1. 已知关于x的不等式。
1)当时，求此不等式的解集；
2)当时，求此不等式的解集。
解：(1) 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为。
2) 当时，不等式可化为，当时，解集为。
当时，解集为。
时，解集为。
2. 已知菱形中，，，将菱形沿对角线翻折，使点翻折到点的位置，点、、分别是、、的中点。
1) 证明：//平面。
2) 证明：.
3) 当时，求线段的长。
解：（1）证明：，/平面。
2) 证明：取中点，连，在菱形中 ,所以平面，所以。
3) ,平面，.
3. 在一个六角形体育馆的一角 man内，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，b是墙角线am上的一点，c是墙角线an上的一点．
1) 若bc=a=20, 求储存区域面积的最大值；
2) 若ab=ac=10,在折线内选一点，使，求四边形储存区域dbac的最大面积。
解：(1)设。
由，得。即
2) 由，知点在以，为焦点的椭圆上，，∴要使四边形dbac面积最大，只需的面积最大，此时点到的距离最大， 即必为椭圆短轴顶点．由，得短半轴长面积的最大值为。
因此，四边形acdb面积的最大值为．
4. 已知{}是以为首项，为公比的等比数列，为它的前项和。
1) 当成等差数列时，求的值；
2) 当成等差数列时，求证：对任意自然数也成等差数列。
解：(1) 若公比，则。
不满足成等差数列，..
成等差数列，即，即。
又，.即，.
2) 若公比，则，成等差数列；
若公比，由成等差数列，得，即，.
又，也成等差数列。
5. 已知双曲线。
(1) 若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点，求椭圆方程。
(2) 设(1)中椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，直线为椭圆的右准线，为上的一动点，且在轴上方，直线与椭圆交于点m. 若，求的余弦值；
3) 设过三点的圆与轴交于两点，当线段的中点为时，求这个圆的方程。
解：(1)双曲线焦点为，设椭圆方程为。
则 .故椭圆方程为。
2) 由已知， 直线的方程为。设。
由点在椭圆上，得。
故所求的点m的坐标为。
所以。3) 设圆的方程为将三点坐标代入，得。
得。圆的方程为令得。
设，则。由线段的中点为，得。
此时，所求圆的方程为。
6．定义在d上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常数 ，都有成立，则称是d上的有界函数，其中m称为函数的上界。已知函数。
1) 当时，求函数在上的值域，判断函数在上是否为有界函数，并说明理由；
2) 若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围。
解：(1)时，上单调递增，故函数在上的值域为。
又，不存在常数，使都成立。
故函数在上不是有界函数。
2) 若函数在上是以3为上界的有界函数，则在上恒成立。
即。即在上恒成立。
令，令，则。
令，则。实数的取值范围为。
三、理科附加题。
1.如图，两点间有5条线，它们在单位时间内能通过的信息量依次为2,3,4,3,2.现从中任取3条线且记在单位时间内通过的信息总量为。
1)写出信息总量的分布列。
2)求信息总量的数学期望。
解：(1)由题意得，的可能取值。
为7, 8, 9, 10.
的分布列为：
2. 已知抛物线的方程为，直线截抛物线所得弦。
1) 求的值；
2) 抛物线上是否存在异于点、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线。若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
解：(1) 由解得，所以，所以。
2) 由(1)得，假设抛物线上存在异于点、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线。
令圆的圆心为，则由得。
得，因为抛物线在点处的切线斜率，又该切线与垂直，所以。
所以。因为，所以。
故存在点且坐标为。
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2012高考数学信息卷二。一 填空题。1.已知，且，则的值为。2.函数的定义域为r.对任意的r，则的解集为。提示 设，故在r上为增函数。又，由，即，得。3.设点是内一点 不包括边界 且，则的取值范围是。提示 点在直线系上，点到直线系 上点的距离取值范围是。4.已知数列的首项是1，随后两项都是2，接下...
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2012 高考数学信息卷一。一 填空题。1 若为正实数，则的最大值是。提示 2.已知函数，若存在，使成立，则实数的取值范围是。3 已知三顶点的坐标为是坐标平面内一点，且满足，则的最小值为 3 提示 由已知得，且，即，且，所以。4.函数在定义域r内可导，若，且当时，设，则的大小关系为c提示 依题意得，...
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