2012 高考数学信息卷一。
一、填空题。
1．若为正实数，则的最大值是。
提示：.2. 已知函数，若存在，，使成立，则实数的取值范围是。
3．已知三顶点的坐标为是坐标平面内一点，且满足，则的最小值为 3 .
提示：由已知得，且，即，且，所以。
4. 函数在定义域r内可导，若，且当时，，设，则的大小关系为c提示：依题意得，当时，有，为增函数；
又，且，因此有，即有，.
5. 等比数列{}的前项和为，已知成等差数列，则等比数列{}的公比为 .
提示：设等比数列{}的公比为，由，得。
即，.6．在平面直角坐标系中，设直线与圆：相交于、两点，若点在圆上，则实数。
提示：，则四边形是锐角为的菱形，
此时，点到距离为1. 由，解出。
7． 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第5个数应是2012.
提示：由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第63行最左边的数是，所以，从左至右的第5个数应是2016-4=2012.
二、解答题。
1. 已知向量，，且，其中。
1)求的值；
2)若，求cos的值。
解：(1)，，且，，即，2)
2.如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，，.
1)求证：;
2)求证：.
证明：(1)连接。
又为的中点，的中位线，2)由(1)可知，.
侧面为正方形，且，又，3.某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m．
1)过点的一条直线与走廊的外侧两边交于两点，且与走廊的一边的夹角为，将线段的长度表示为的函数；
2)一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．
解：(1) 根据图得。
2) 铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：
令得，．当时，为减函数；
当时，为增函数；
所以当时，有最小值，因为，所以铁棒能水平通过该直角走廊．
4.椭圆c： 两个焦点为，点p在椭圆c上，且，且，.
1)求椭圆c的方程。
2)以此椭圆的上顶点b为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形abc，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由。
解：(1) ，又，所求椭圆c的方程为。
2)假设能构成等腰直角三角形abc，其中，由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设边所在直线的方程为， ,则边所在直线的方程为。
由得，故，用代替上式中的，得，由。
即即。故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形。
5.有个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为（），公差为，并且成等差数列。
1)证明，并求的值；
2)当时，将数列分组如下： ，每组数的个数构成等差数列）.
设前组中所有数之和为（），求数列的前项和。
3)设n是不超过20的正整数，当时，对于(1)中的，求使得不等式成立的所有n的值。
解：(1)由题意知。
同理，，，又因为成等差数列，所以==…
故即是公差为的等差数列。
所以。令则此时=1.
2) 当时，数列分组如下：，，
按分组规律，第组中有个奇数，所以第1组到第组共有个奇数。
注意到前个奇数的和为，所以前个奇数的和为。
即前组中所有数之和为，所以。
因为所以，从而。所以。故。
所以。3)由(2)得， .
故不等式就是。
考虑函数。当时，都有，即。
而，注意到当时，单调递增，故有。
因此，当时，成立，即成立。
所以，满足条件的所有正整数n=.
6. 对任意，给定区间，设函数表示实数与所属的给定区间内唯一整数之差的绝对值。
1)当时，求出的解析式；时，写出绝对值符号表示的的解析式；
2)求，判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
3)当时，求方程的实根。( 要求说明理由，).
解：(1)当时，中唯一整数为0，由定义知：
当时，在中唯一整数为，由定义知：.
下判断是偶函数。
对任何，存在唯一，使得。
由可以得出，即。
由(1)的结论，即是偶函数。
3)，即，其中；
当时，，所以没有大于1的实根；
容易验证为方程的实根；
当时，对应的，方程变为。设。则。
故当时，为减函数，，方程没有的实根；
当时，对应的，方程变为，设，明显为减函数。
所以方程没有的实根。
综上，若时，方程有且仅有一个实根，实根为1.
三、理科附加题。
1.在研究性学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担h、i、j、k四项不同的任务，每项任务至少安排一位同学承担。
1)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；
2)设这五位同学中承担h任务的人数为随机变量，求的分布列及数学期望。
解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件b，那么。
所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是。
2)随机变量可能取的值为1,2.
事件“”是指有两人同时承担h任务，则，所以，的分布列是。
所以。2. 已知。
1) 求及；
2) 试比较与的大小，并说明理由。
解：(1) 令，则，令，则，所以。
2) 要比较与的大小，即比较：与的大小，当时，>;当时，<；
当时，>；
猜想：当时，>，下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，时结论成立，假设当时结论成立，即》；两边同乘以3得：.而。所以；
即是结论也成立，所以，当，>成立。
综上得，当时，>；
当时，<;
当，时，>.
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