2012届江苏省无锡市五校联考数学卷 2012.4
本试卷分为第卷（必做题）和第卷（选做题）两部分．选修测试历史的而考生仅需做第卷，共160分，考试用时120分钟．选修测物理的考生需做第卷和第卷，共200分考试用时150分钟．
第卷（必做题共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上．
1．若，且为纯虚数，则实数 ．
2．在边长为的正方形中，设，则 ．
3．已知命题，则使得当时，“或”与“”同时为假命题的组成的集合。
4．函数的图。
像如右图所示，则。
5．某地区有3个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选择哪一天是等可能的)，假定各个工厂的选择互不影响，则这3个工厂选择同一天停电的概率为。
6．某市高三数学抽样考试中，对。
分及其以上的成绩情况进行统计，其频率。
分布直方图如右下图所示，若。
分数段的人数为人，则分数。
段的人数为。
7．下图给出了一个算法流程图．若给出实数为。
输出的结果为，则实数。
的取值范围是 ．
8．若点在椭圆外，过点作该椭圆的两条切线的切点分别为，则切点弦所在直线的方程为．那么对于双曲线，类似地，可以得到一个正确的命题为。
9．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，有下列4个命题：
若，则； 若，则；
若，则； 若，．
其中真命题的序号是填上你认为正确的所有命题的序号）
10．已知二次函数满足，则的取值范围是。
11．若椭圆的左、右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成两段，则此椭圆的离心率为。
12．已知函数的图象在点处的切线方程为，则的表达式为 ．
13．在中，已知内角，边，则的面积的最大值为。
14．已知定义在上的函数和满足，，．令，则使数列的前项和超过。
的最小自然数的值为。
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知锐角中的三个内角分别为．
（1）设，求证是等腰三角形；
2）设向量， ,且∥,若，求的值．
16．（本小题满分14分）
在四棱锥p－abcd中，∠abc＝∠acd＝90°，∠bac＝∠cad＝60°，pa⊥平面abcd，e为pd的中点，pa＝2ab＝2．
1）求证：pc⊥；
2）求证：ce∥平面pab；
3）求三棱锥p－ace的体积v．
17．（本小题满分14分）
设公差为（）的等差数列与公比为（）的等比数列有如下关系：．
1）比较与的大小关系，并给出证明．
2）是否存在正整数，使得若存在，求出之间所满足的关系式；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆：的长轴长为4，离心率，为坐标原点，过的直线与轴垂直．是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点．
1）求椭圆的方程；
2）证明：点在以为直径的圆上；
3）试判断直线与圆的位置关系．
19．（本小题满分16分）
已知矩形纸片中，，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的边上，且折痕的端点分别位于边上，设，，长度为．
1）试将表示为的函数，并给出这个函数的定义域；
2) 判断这个函数的单调性，并给出证明；
3）求的最小值．
20．（本小题满分16分）
已知．1) 求函数在上的最小值；
2) 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
第ⅱ卷（附加题共40分）
21．【选做题】在a，b，c，d四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
a．选修4－1：几何证明选讲。
如图，ab为⊙o的直径，bc切⊙o
于b，ac交⊙o于p，ce=be，e在bc
上．求证：pe是⊙o的切线．
解题**：本题主要考查圆及其切线的有关性质。
和等腰三角形的性质等基础知识，考查推理论证能力．要证明pe是⊙o的切线，只有证明就行了，可利用等腰三角形底角相等的性质来加以证明．
解析：如图，连结op、bp， ∵a b是⊙o的直径，∴∠apb=90°． 2分）
又∵ce=be，∴ep=eb，∴∠3=∠1．（4分）
∵op=ob，∴∠4=∠2． (6分)
∵bc切⊙o于点b，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=908分)
又∵op为⊙o的半径，∴pe是⊙o的切线． (10分。
链接高考：三角形与圆的几何性质是。
平面几何选讲”中的重要内容，也是新。
课程高考命题的一个热点内容，高考对这些内容的要求不高，只要能正确地运用它们解决一些简单的几何计算和证明问题就行了，一般说来，题目的难度不会太大，备考复习时，要以基础知识和基本方法为重点，把握好度，适当地进行一训练，不要过多地在题型和技巧的操练方面花时间和下功夫，以减轻学生的负担，提高复习的效果．
b．选修4－2：矩阵与变换。
已知矩阵 ,的一个特征值，其对应的特征向量是。设向量，试计算的值。
解题**：本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识和基本方法，考查运算能力．要计算的值，可先根据题设条件，运用待定系数法求出矩阵，再求出矩阵的另一个特征值及其对应的特征向量，然后将用矩阵的特征向量表示出来，就可以了．
解析：由题设条件可得： ,即，解得，得矩阵。
矩阵的特征多项式为 ，解得。
当时，得；当时，得6分)
由，得，得8分)
链接高考：“矩阵与变换”是新课程的新增内容，高考主要考查以下几个方面的内容：一是常见的平面变换与矩阵的乘法运算；二是二阶矩阵的逆矩阵及其求法；三是二阶矩阵的特征值与特征向量的求法．《考试说明》对这些内容是级要求，一般说来，题目的难度也。
不大，抓基础知识的理解和基本方法的运用仍然是复习的重点，在复习中特别需要注意的就是紧扣《考试说明》的要求，把握好“度”．值得指出的是，待定系数法在矩阵中有着广泛的应用，复习中要引起足够的重视．
c．选修4－4：参数方程与极坐标。
已知曲线c的极坐标方程为。以极点为平面直角坐标系的原点，极轴。
为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为，若直线与曲线c相切，求的值．
解题**：本题主要考查点到直线的距离公式的运用以及曲线的极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程互化的方法等基础知识和基本方法，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力．首先将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再在直角坐标下进行求解，这种化归与转化的思想方法是求解极坐标与参数方程问题的常用方法．
解析：曲线化为直角坐标方程为，即，（3分）
直线的参数方程化为普通方程为6分）
由题设条件，有8分)
（舍去）或10分)
链接高考：在新课程的高考中，关于“坐标系与参数方程”这一模块内容的考查主要有两类：一是曲线的极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化；二是常见曲线特别是直线和圆的参数方程与极坐标方程及其在解题中的应用．复习时，不要在繁难的计算上做文章，要善于突出重点，抓住关键，严格按照《考试说明》的要求进行有针对性的强化训练，努力提高复习的效益．
d．选修4－5：不等式选讲。
设x，y，z为正数，证明：．
解题**：本题主要考查不等式的基本性质和基本不等式的有关知识，考查综合法证明不等式的方法．由正数的条件和待证不等式的结构特征，联想基本不等式，证得。
再利用同向不等式相加的性质，即可实现证明．
解析：因为x，y，z为正数，所以2分)
所以4分)同理6分)
三式相加即可得8分)
又因为，所以10分)
链接高考：“不等式选讲”是对必修部分的不等式内容的拓展，高考考查的重点是：证明不等式的基本方法、含绝对值的不等式和几个重要的不等式及其应用．要特别注意基本不等式是“不等式选讲”中的重要内容，它在解决数学问题时有着十分广泛的应用，因此是高考数学命题的一个热点．另外，关于柯西不等式、排序不等式以及数学归纳法的应用等，也有可能成为高考数学中关于不等式知识考查的对象，复习时要通过适当的练习进行强化．
必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点满足，1）当变化时，求点的轨迹的方程；
2）若过点的直线交曲线于a,b两点，求证：直线ta,tf,tb的斜率依次成等差数列．
解题**：本题是一道综合性问题，在多个知识点的交汇处设计，主要考平面向量、等差数列、直线的斜率计算和轨迹方程的求法等基础知识和基本方法，考查运算能力和推理论证能力．对于第（1）问，根据题设，运用向量知识容易得到关于的两个方程，从中消去参数，即可得到点的轨迹的方程；对于第（2）问，可通过直接计算直线ta,tf,tb的斜率加以比较，实现证明．
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