中国农业大学。
2012~2013学年秋季学期。
线性代数（b）课程考试试题(b卷)（2013.6.28）
1．设、为阶方阵，且，，则．
2．是矩阵，其秩，，则．
3．阶行列式．
4. 若为正定二次型，则的取值范围。
t>3/5 ．
5. 方阵相似于对角矩阵，则= 5 ．
1．设，均为阶方阵，且，则【 c 】
ab)； c)或d)
2.维向量线性无关的充分必要条件是【 b 】
a ) 存在不全为零的数，使；
b）中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；
c）中任意两个向量线性无关；
d）中存在一个向量都不能用其余向量线性表示．
3. 设为矩阵，且，若的行向量组线性无关，则【 a 】
a) 方程组有无穷多解； (b) 方程组仅有零解；
c) 方程组无解； (d) 方程组仅有零解．
4.设满足【 b 】时，二次型是正定的．
a）； b） ；c）； d）．
5. 设为三阶可逆矩阵，且各列元素之和为，则【 b 】.
a)必有特征值b)必有特征值；
c)必有特征值d)必有特征值。
三、（本题满分8分）若阶行列式求，其中为行列式中元素的代数余子式。解：
四、（本题满分12分）设，，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵c．
解：由题意知矩阵c为2阶矩阵，故可设，则由得线性方程组：
由于方程组（1）有解，故有，从而有。
故有，其中任意实数，从而．
五、（本题满分6分）已知，证明：及都可逆，并求及．
解：由，得，因此，可逆，且。
由，得，因此，可逆，且。
六、（本题满分12分）当为何值时，线性方程组有唯一解，并求出该解．
解：线性方程组的增广矩阵。
因此，当且时，，方程组有唯一解，且。
因此，。七、（本题满分12分）设是齐次线性方程组的一个基础解系，证明。
也是的一个基础解系。
证：是的解，故线性无关，因此是基础解系．
八、（本题满分8分）设矩阵，矩阵的秩，且。
求方程的通解．
解：由于矩阵的秩，则齐次线性方程组含一个解向量．
由得，，则是的基础解系．
由得，，则是的一个特解．
因此的通解．
九、（本题满分12分）已知阶矩阵有三个线性无关的特征向量，是二重特征值，求可逆矩阵，使为对角阵，并写出此对角阵．
解：因为是矩阵的二重特征值，且有三个线性无关的特征向量，则属于特征值。
的线性无关的特征向量有二个，因此三元齐次线性方程组。
的基础解系中有两个解，故有．
由得，．特征多项式，特征值为。
属于特征值为的特征向量为。
属于特征值为的特征向量为，令，则。
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