江苏省扬州中学2012—2013学年度第一学期期中考试。
高二数学试卷2023年11月。
注：本试卷满分160分，考试时间120分钟，请将答案写在答题纸上）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1．命题“若，则”的否命题为．
2．若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为．
3．已知直线的斜率为，则其倾斜角为．
4．椭圆的焦距为．
5．经过点且与直线平行的直线方程是．
6．当时，直线必过定点．
7．已知点和在直线的两侧，则实数的取值范若围是．
8．以点为圆心且与直线相切的圆的方程为．
9．直线被圆截得的弦长为等于．
10．已知为椭圆的左右焦点，弦过，则的周长为．
11．已知圆经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率．
12．抛物线上的点到焦点的距离为5，为坐标原点，则的面积为．
13．若实数满足，则的取值范围是．
14．过椭圆的左顶点a的斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影为右焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是．
二、解答题（本大题共6小题，计90分。
15．（本题满分14分）已知命题；命题关于的方程在实数集内没有解；若和都是真命题，求的取值范围。
16．（本题满分14分）已知三点、（－6，0）、（6，0）.
ⅰ）求以、为焦点且过点p的椭圆的标准方程；
ⅱ）设点p、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
17．（本题满分15分）已知点，直线。求：
1)过点a与垂直的直线方程；
2)求过点a的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积的最小值及此时的直线方程．
18．（本题满分15分）投资生产a产品时，每生产100t需要奖金200万元，需场地200m2，可获利润300万元；投资生产b产品时，每生产100m需要资金300万元，需场地100m2，可获利润200万元，现某单位可使用资金1400万元，场地900m2，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
19．（本题满分16分）如图，圆弧bcd的圆心p在y轴上，直线ab切圆弧于点b，若a（-3，0），c（0，2+1），d（1，0）.
1）求曲线abcd的方程；
2）求曲线abcd和x轴围成的图形面积。
20．（本题满分16分）已知椭圆，过点作直线与椭圆交于，两点．
若点平分线段，试求直线的方程；
设与满足⑴中条件的直线平行的直线与椭圆交于两点，与椭圆交于点，与椭圆交于点，求证：∥
请将题做在反面。
高二数学期中试卷答案。
1.若，则2.-13.4.25.6.（1,1）7.8.9.10.811.12.213.14.
15.解：,或。故命题p为真命题时，或。又命题q：方程在实数集内没解，.故命题q为真命题时。
.的取值范围是。
16．解：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0),其半焦距c=6.
2a=|pf1|+|pf2|=+
a=3,b2=a2-c2=45-36=9.
所求椭圆的标准方程为。
2)点p（5，2）、f1（-6，0）、f2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为p′(2,5)、f1′（0，-6）、f2′(0,6).
设所求双曲线的标准方程为。
a1>0,b1>0).
由题意知，半焦距c1=6,2a1=||p′f1′|-p′f2′||
a1=,b12=c12-a12=36-20=16.
所求双曲线的标准方程为。
17．解：(1)直线的斜率为。
所以所求直线方程为：,即。
2)设过点的直线方程为：,则与轴正半轴交点的坐标为与轴正半轴交点的坐标为。
根据题意有解得。
此时，所求三角形的面积为：.
又。所以三角形面积的最小值为：=12.
此时。此时直线的方程为：.
18．解：设生产a产品百吨，生产b产品百米，利润为百万元，则约束条件为。
目标函数为。
作出可行域（如图），将目标函数变形为，这是斜率为，随变化的一族直线，是直线在轴上的截距，当最大时最大，但直线要与可行域相交。
由如图知，使取得最大值的是两直线与的交点，此时，答：生产a产品325t，生产b产品250m时，获利最大，且最大利润为1475万元。
19．（1）设圆的方程为：x2+（y-b）2=r2，将c、d的坐标代入，得。
2+1-b）2=1+b2，解得b=1，r2=2，所以圆的方程为x2+（y-1）2=2.
又设lab：y=k（x+3），则|3k-1|k2+1=2，k2-6k-1=0，k=1或k=-17（舍去），lab：x-y+3=0.
lpb：x+y-1=0，所以得点b（-1，2）.
所以曲线abcd的方程为：
x-y+3=0（-3≤x≤-1）及x2+（y-1）2=2（-1＜x≤2且0≤y≤2+1）.
2）∵kpb=kpd=-1，∴b、p、d三点共线，即bcd︵为半圆，曲线abcd和x轴围成的图形面积=12×4×2+π=4+π.
解：⑴，则有。
－②得，即，得。
故直线的方程为，即。
设，且，则有，即，将点的坐标分别代入椭圆方程：
×①得。易知，故约去得③
同理有④由④－③得。
由已知斜率为，有，得，即，即，所以∥
2023年秋期高二数学上册期中试卷 附答案
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