2023年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（文科）
一、 填空题（本大题共有14题，满分56分）
1．计算i为虚数单位）.
答案】1-2i
解析】==1-2i
点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。
2．若集合，，则。
答案】解析】由集合a可得：x>，由集合b可得：-1【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。
3．函数的最小正周期是。
答案】解析】根据韪得：
点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式。考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小。
4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.
答案】解析】设直线的倾斜角为，则。
点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示。直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小。
5.一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为。
答案】解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为，所以该圆柱的表面积为：.
点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式。审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题。
6.方程的解是。
答案】解析】根据方程，化简得，令，则原方程可化为，解得或，即。所以原方程的解为 .
点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用。本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误。本题属于中低档题目，难度适中。
7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 .
答案】 解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此， .
点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义。考查知识较综合。
8.在的二项式展开式中，常数项等于 .
答案】 解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 .
点评】本题主要考查二项式定理。对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成。属于中档题。
9.已知是奇函数，若且，则。
答案】 解析】因为函数为奇函数，所以有，即 .
点评】本题主要考查函数的奇偶性。在运用此性质解题时要注意：函数为奇函数，所以有这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中。
10.满足约束条件的目标函数的最小值是 .
答案】解析】根据题意得到或或或。
其可行域为平行四边形区域，（包括边界）目标函数可以化成，的最小值就是该直线在轴上截距的最小值，当该直线过点时，有最小值，此时 .
点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点时，有最小值，此时 ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中。
11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）.
答案】解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为 .
点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型。要分清基本事件数和基本事件总数。本题属于中档题。
12.在矩形中，边、的长分别为，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是。
答案】解析】以向量ab所在直线为轴，以向量ad所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为，所以设，根据题意，，所以。
所以，所以， 即。
点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律。做题时，要切实注意条件的运用。本题属于中档题，难度适中。
13.已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为。
答案】解析】根据题意，得到，从而得到所以围成的面积为，所以围成的图形的面积为 .
点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用。突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大。
答案】 解析】据题，并且，得到，，，得到，解得（负值舍去）.依次往前推得到。
点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念。理解条件是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题。
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15.若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
a． b. c. d.
答案】 d
解析】根据实系数方程的根的特点知也是该方程的另一个根，所以。
即，，故答案选择d.
点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算。属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意。
16.对于常数、，“是“方程的曲线是椭圆”的（ ）
a．充分不必要条件 b.必要不充分条件
c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件。
答案】b解析】方程的曲线表示椭圆，常数常数的取值为所以，由得不到程的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出，因而必要。所以答案选择b.
点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解。根据方程的组成特征，可以知道常数的取值情况。属于中档题。
17.在△中，若，则△的形状是（ ）
a．钝角三角形 b、.直角三角形 c.锐角三角形 d.不能确定。
答案】 a解析】由正弦定理，得代入得到，由余弦定理的推理得，所以c为钝角，所以该三角形为钝角三角形。故选择a.
点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用。主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理。本题属于中档题。
18.若（），则在中，正数的个数是（ ）
a．16b.72c.86d.100
答案】c解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项。
点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题。解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力。
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19．如图，在三棱锥p-abc中，pa⊥底面abc，d是。
pc的中点。已知∠bac=，ab=2，ac=2，pa=2.求：
1）三棱锥p-abc的体积；（6分）
2）异面直线bc与ad所成的角的大小（结果用反三。
角函数值表示）.（6分）
解]（12分。
三棱锥p-abc的体积为。
6分。（2）取pb的中点e，连接de、ae，则。
ed∥bc，所以∠ade（或其补角）是异面直线。
bc与ad所成的角8分。
在三角形ade中，de=2，ae=，ad=2，，所以∠ade=.
因此，异面直线bc与ad所成的角的大小是12分。
点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用。本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．
20．已知函数。
（1）若，求的取值范围；（6分）
（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数。
的反函数。（8分）
解]（1）由，得。
由得3分。因为，所以，.
由得6分。（2）当x[1,2]时，2-x[0,1]，因此。
10分。由单调性可得。
因为，所以所求反函数是，. 14分。
点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．
21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴。
正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海。
里a处，如图。 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线。
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救。
援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为。
（1）当时，写出失事船所在位置p的纵坐标。 若此时。
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）
解]（1）时，p的横坐标xp=，代入抛物线方程。
中，得p的纵坐标yp=32分。
2023年上海高考文科数学试卷
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