南通市数学学科基地命题。
第ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．
1． 若集合，则 ▲
2． 已知复数，其中是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限。
3． 某高中共有人，其中高。
一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法。
从中抽取人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲
4． 双曲线的离心率为 ▲
5． 执行右边的伪**后，输出的结果是 ▲
6． 从2个黄球，2个红球，一个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的。
概率是 ▲
7． 若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为 ▲
8． 在等比数列中，已知，则 ▲
9． 若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式。
的解集为 ▲
10. 已知实数满足，则的取值范围是 ▲
11．设函数和的图象在轴左、右两侧靠近轴的交点。
分别为、，已知为原点，则 ▲
12．若斜率互为相反数且相交于点的两条直线被圆：所截得的弦长之比。
为，则这两条直线的斜率之积为 ▲
13． 设实数，不等式对恒成立，则实数m的取值范围是 ▲
14．在斜三角形abc中，若，则sinc的最大值为 ▲
二、解答题：本大题共6小题，共90分。
15．（本小题满分14分）己知向量，．
(1)若，求的值：
2)若，且，求以、为边，夹角为的三角形的面积．
16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥p- abc中，已知平面pbc平面abc．
(1)若abbc，cppb，求证：cppa：
2)若过点a作直线平面abc，求证： /平面pbc．
17.(本小题满分14分）
如图，abcd是一块边长为100米的正方形地皮，其中atps是一半径为90米的底面为扇形。
小山（p为圆弧ts上的点），其余部分为平地。今有开发商想在平地上建一个两边落在bc及。
cd上的长方形停车场pqcr..
1）设，试将矩形pqcr面积表示为的函数；
2）求停车场pqcr面积的最大值及最小值。
18．(本小题满分14分）如图，点a（1，）为椭圆上一定点，过点a引两直线与。
椭圆分别交于b、c两点。
1）求椭圆方程；
2）若直线ab、ac与x轴围成以点a为顶点的等腰三角形。
求直线bc的斜率；
求△abc的面积最大值，并求出此时直线bc的方程。
19．(本小题满分16分）已知数列{}中，，且对任意正整数。
都成立，数列{}的前n项和为sn.
1）若，且，求；
2）是否存在实数k，使数列{}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项。
按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由；
3）若。20．(本小题满分16分）已知函数为的导数，有两个零点。
且。1）当时，求的单调区间；
2）证明： ；
3）证明：使得。
第卷（附加题，共40分）
b．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 ，a的逆矩阵。
1）求a,b的值；（2）求a的特征值。
c．（选修4-4：坐标系与参数方程） 己知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为。
为参数），以轴为极轴，为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆是以点为圆心，且过点的圆．
1）求圆及圆在平面直角坐标系下的直角坐标方程；
2）求圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值．
选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分。
22．甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．
1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；
2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望e（ξ）
23．对于给定的大于1的正整数n，设，其中{}，且，记满足条件的所有x的和为。
1）求a22）设，求f（n）.
一、填空题。
1． 2．四 3．16 4． 5．28
7．.圆锥母线长2，可求底面半径为1，故高h=，故v=.
8． 64. 先得公比q2=4,知64 .
9． e).
由于是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是e) .
10. [1,7].根据可行域知，目标函数化为z=x-y+3(去掉绝对值是关键）
11． -8/9.令f(x)-g(x)=0,化简得。
则，故。12. -9或-1/9.设斜率为k,-k,则两条直线方程为kx-y+1-k=0,kx+y-1-k=0,两条弦心距为。
弦长，代入弦长之比。
得，求出k=3,或k=-1/3,故结果为-9或-1/9.
13．.（1）当时，不等式显然成立；（2）当时，由得；（3）当时，由得m<2, 矛盾，综上，.
14..切化弦得，，于是知sinc的最大值。
二、解答题
15．(1)因为，所以，所以，即．
因为，所以．
2)由∥，得，
即，即，整理得， 又，所以，所以，即． 所以三角形的面积=
16．（1）因为平面⊥平面，平面平面，平面，，所以⊥平面． 因为平面，所以⊥.
又因为⊥，且，平面，所以⊥平面，又因为平面，所以⊥．
2）在平面内过点作⊥，垂足为．
因为平面⊥平面，又平面∩平面＝bc，平面，所以⊥平面．
又⊥平面，所以//．
又平面，平面，所以//平面．
17.(1)spqcr＝f（θ）100－90cosθ）（100－90sinθ）
8100sinθcosθ－9000（sinθ＋cosθ）＋10000 , 0，].
2）由（1）知spqcr＝f（θ）8100sinθcosθ－900（sinθ＋cosθ）＋10000 ,θ0，]
令sinθ＋cosθ＝t，则t＝sin（θ＋1
spqcr＝t2－9000t＋10000－
当t＝时，spqcd最小值为950（m2）
当t＝时，spqcd最大值为14050－9000 （m2）.
答：停车场面积的最大值和最小值分别为 14050－9000 （m2）和950（m2）.
18． (1)把点a（1，）代入得n＝6，故椭圆方程为。
2）（i）显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直，因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为、，由。
得点b的横坐标为（为点a的横坐标），点b的纵坐标为，即。
同理可得点c的坐标为。
,∴直线bc的斜率为。
ii)设直线bc的方程为，代入方程得，
又点a到直线bc的距离为。
当，即或时，△abc面积取得最大值为。
此时，直线bc的方程为。
19．⑴时，，，所以数列是等差数列，
此时首项，公差，数列的前项和是，故，得；
设数列是等比数列，则它的公比，所以，，，
①若为等差中项，则，即，解得，不合题意；
若为等差中项，则，即，化简得：，解得，（舍去）；；
若为等差中项，则，即，化简得：，解得。
综上可得，满足要求的实数有且仅有一个。
⑶则，当是偶数时， ，当是奇数时，，也适合上式，
综上可得。20．(1)，可得f(x)的单调减区间为（0,3），单调增区间为（3，+）
2) 设，可证此函数在（1，+）是增函数，且，令，代入得到，而由》,故有。
3)令， g(x)是增函数，令，则有（用到lnx由零点定理知，存在，即。
即。 c．（1）⊙m：，对应直角坐系下的点为，对应直角坐系下的点为，∴⊙n：
2）pq=mn-3
22．( 1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况：
甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．
比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率：
p=++2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，p（ξ=0）=+p（ξ=1）=+p（ξ=3）==p（ξ=2）=1﹣p（ξ=0）﹣p（ξ=1）﹣p（ξ=3）=1﹣=，的分布列为：
eξ==1．
23．⑴当时，故满足条件的共有个，分别为，它们的和是。
由题意得，各有种取法；有种取法，由分步计数原理可得，的不同取法共有。
即满足条件的共有个。
当分别取时，各有种取法，有种取法，故中所有含项的和为；
同理，中所有含项的和为；
中所有含项的和为；
中所有含项的和为；
当分别取时，各有种取法，故中所有含项的和为；所以；故。
2023年高考模拟试卷 2
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