2023年9月。
一、形如：f(an,sn)=0,用公式an=将其转化为递推式或的递推式求解。
例1：已知正项数列满足sn= (an+),求an的表达式。
提示：将代入sn= (an+)消得，数列是一个等差数列，或sn= (an+),与相减得
两边平方得即数列为等差数列，。。
所以。例2：已知数列的前n项和为sn，an＞0，a1=12且满足4sn=+2an－120，求的通项公式。
提示：易得。。。得。
例3，设正项数列对一切都有，为的前n项和。(1)求证： （2）求的通项公式答案。
二、形如：an+1= an+ f(n)型，求an
用累加法，得。
或迭代法。或者差和法：
例：已知a1＝1，an+1= an＋2 n+1，求an
三、形如：an+1= an f(n)， a1已知，用累积法：
或迭代法：
或者换元法：化为，其中为常数，数列为等比数列。
例1：已知数列，满足a1＝1，b1＝4，数列的前n项和为sn满足nsn＋1－(n+3) sn=0, 2an+1为bn与bn+1的等比中项，求an，bn
提示易有为常数列。
例2：求 提示化为累积得，再求和。
答案。例3已知。（1）求 （2）设数列前n项和答案（1） （2）
例4：已知。
2）记。答案（1） （2）略。
四、形如： an+1= pan＋q，a1已知，（p，q为常数p≠1）
用迭代法：
或两边同减x,化递推式为所以成以为首项，公比为q的等比数列，从而求出。
或与则为以为首项以p为公比的等比数列，求出通项公式，再用差和法或与原递推式联立求出。
或将递推式化为=＋q()n+1,如型二求解。
例： 已知a1＝1，an+1=3 an＋2, 求an答案：
五、形如：a1＝a，an+1= pan＋r qn
若p=q，则= ＋化为二。
若p≠q，则变为= ＋r ()n，如二。
或变为如四。
或待定系数法：两边同加上。
则为以为首项以p为公比的等比数列。
从而求出。例1：已知a1＝1，an+1=＋5·2 n+1，求an
提示数列是首项为21公比为3的等比数列，答案。
例2设为常数，且。
1）证明对任意。
2）假设对任意有求的取值范围。 答案。
六、形如：a1＝a，an+1= pan＋f(n)，求an
类似五变形，用待定系数法化为，构造等比数列解之。
其中与同型同构。
例1. 已知a1＝1，an+1=3 an＋2n＋1＋5·2 n+1，求an
提示化为。答案：
例2. 已知a1＝1，an+1=3 an＋(2n＋1)·2 n+1，求an
提示可化为。
答案： 七、形如：an+1 an =f(n)， a1已知。由。
可对分奇数项、偶数项分别求通项。或对递推式两边取对数成类型五解决。
例1：已知无穷数列相邻两项an，an+1是方程x2－cnx＋()n＝0两根，。求。
c1＋c2＋c3＋…＋cn＋…
提示易得对，分奇数项，偶数项分别求通项 。答案（）
例2：已知数列满足a1＝1, a2＝，且[3+(－1)n] an+2－2an＋2[(－1)n－1]＝0
求an ⑵设bn＝a2n －1 a2n，求数列的前n项和为sn
提示：对n分奇偶性讨论。（1）易得即是公比为的等比数列，是公差为2的等差数列 （2）对n分奇偶性讨论：略。
答案当为奇数时，当为偶数时。
八、形如：an+1= f(n) an＋g(n)，a1已知。
例1：已知满足a1＝1，对任意n∈n*，an+1＝
求an若bn＝，数列的前n项和为sn,证明sn＜3
提示化递推式为，再用差和法。
答案（1） （2）提示。
九、整式线性递归数列：a1＝a，a2＝b,且an+2=p an+1＋qan，求an
用待定系数法：两边同减去，化简整理得。
令。设其两根为则。
若则原递推式可化为。
及。即是以为首项以为公比的等比数列。是以为首项以为公比的等比数列。所以：
。。（2）联立解得。
若则有即是以为首项以为公比得等比数列。所以。两边同除以得。
即数列是一个等差数列，从而可导出。
若为虚数，则数列为周期数列。
例1： 已知a1＝1，a2＝5, an+1＝5an－6 an－1，求an答案。
例2：已知a1＝1，a2＝2，an+1＝6an－9 an－1，求an答案。
例3： 已知a1＝1，a2＝3，an+1＝an－an－1，求an
答案：1，3，2，-1，-3，-2，1，3，2，-1，。。
表达式。例4：已知数列满足：
求证： 十、形如：a1＝a，a2＝b,且an+2=p an+1＋qan＋f(n)，求an
变形如九，或用九变形成六。
由得两根。则递推式可化为。
或）。记，则有。
成型六可得。特殊的当递推式可化为。
成型九。例1：已知a1＝1，a2＝5, an+2=5an+1－6an＋2，求an
提示化递推式为令成型九
答案。例2：设数列满足且。
求证：是完全平方数。
提示：消得化为。
法同上例1得，再证。
例3：已知数列满足且。（n≥2）求。
提示得， 例43：已知a1＝1，a2＝5, an+2=5an+1－6an＋5n＋2，求an
提示易得数列首项公比为3的等比数列，数列是首项为14公比为2的等比数列。答案。
例5：已知a1＝1，a2＝5， an+2=5an+1－6an＋2 n+1，求
提示易得数列首项为7公比为3的等比数列，数列是首项为1公差为1的等差数列。 答案。
十。一、分式线性递归数列：a1＝a，an+1＝( p≠0), 求an
若s=0,则＝·＋记bn＝，则化为型四。
若s≠0，两边同减，令即。
若则有记，则为的型式，若可得及。
两式相比得，所以是以为首项，以为公比的等比数列，从而可求出的通项公式，再求出的通项公式。
若是虚数，则数列是有限数列或周期数列。
例1：已知a1＝2，an+1＝, 求an答案。
提示递推式化为数列是等比数列。
例2：已知a1＝1，an+1＝, 求an答案。
提示可化为数列是等差数列。
例3已知求。
提示：递推式可化为易得。
例4：数列中，且。
1） 设求数列的通项公式。
2） 设数列的前项和为，证明：：
答案：（1） （2）略。
例5：已知a1＝1，an+1＝, 求an答案。
提示可化为，先求。
十。二、非线性递推数列。
1配方。例1：已知正项数列中，a0＝1, an+1＝an(4－an)( n∈n)
证明an＜an+1＜2 ⑵求an的表达式。
提示（2）配方为再取对数解决。得。
例2：已知数列满足
求证。提示：递推式可化为可得
例3：已）知a1＝4，, an+1＝,求an
提示用比例性质化为取对数解决。
例4：已知求。
提示： 易得所以
例5：已知求。
提示：易得，消得，
推得： 一般地、求的通项公式，可用函数的不动点来求，在时，有两个相异实根则。
例6：已知a1＝3， an+1＝,求an
提示用比例性质可化为再取对数解决。
2换元。例1：已知a1＝2，an+1＝an＋1＋,求证对一切n∈n*，an∈n
设得答案。例2：已知。求。
提示记，有可由型四求再求。
答案。例3：已知数列满足x1＝, xn+1＝xn＋＋,且数列的前n项和为sn
求xn表达式 ⑵证明＋＋…
提示：设则， 可得从而可得。
答案（1），（2）略。
例4：已知数列，满足a0＝, b0＝1,且an+1＝, bn+1＝
证明： 2 n+2 an＜π＜2 n+2 bn
提示设得再由。
时，即证。例5：已知。求
提示设则是等比数列答案。
例6设已知且
（1）若求 （2）若求。
提示（1）易得设，则且 。
2）易得设
易得。其中答案。
3转化为线性。
例1：已知且求。
提示：取倒数得记有成型九。
求出再求答案。
例2：已知a1＝1，an+1＝2an＋,求an
提示移项平方整理得进而。
由一元二次方程根与系数关系得可用型九解之得。
例3：已知a1＝0，an+1＝5an＋,求an∈n
提示：法同例1得再用整数性质证之。
例4：已知且。求。
提示递推式可化为，令则且。且再解之。
例5：已知正项数列满足
1）求。2）设确定最小正整数使为整数。
提示：原递推式可化为数列为以为首项以2为公比的等比数列。
答案（1）。
十。三、归纳，猜想与论证解决数列通项。
例1：已知x＋＝2cosθ,且an＝xn＋,求an关于θ的表达式。
答案。例2：已知a1＝1，an+1＝ancosx＋cosnx,求an
答案。例3：已知a1＝1, a2＝，an+1＝,求an
答案。例4：已知数列满足且。
1） 求的通项公式。
2） 令为数列的前项和证明：
提示：（1）易得 (2)
例5：已知数列定义为u0＝2，u1＝，un+1＝un（un－12－2）－u1(n∈n)
证明对一切n∈n*，[un]= 2
提示：计算。。。归纳。。。猜想递推式再求之。
略解：考察。
从而猜想其中待定且 代入。有。
如果选择则。
所以总有。即。
因此指数满足。
再由类型九易得。
所以为负整数。
所以[un]= 2
2023年高考数学专题讲义 求通项公式
第六讲求通项公式。高考在考什么。考题回放 1.已知数列的前n项和为sn，且sn 2 an 1 则a2等于 a a.4 b.2 c.1 d.2 2 在数列中，且，则 35 3 在数列 an 中，若a1 1,an 1 2an 3 n 1 则该数列的通项an 2 n 1 3 4 对正整数n，设曲线在x 2...
2023年高考数学真题解析分项版04数列文
2011年高考试题解析数学 文科 分项版04 数列。一 选择题 1.2011年高考安徽卷文科7 若数列的通项公式是，则。a 15b 12cd 答案 a命题意图 本题考查数列求和。属中等偏易题。解析 法一 分别求出前10项相加即可得出结论 4.2011年高考四川卷文科9 数列的前n项和为sn，若a1 ...
等差数列前n项和 第一课时
导学案使用说明 1 课前认真完成预习学案的问题导学 基础练习及例题。2 认真限时完成，规范书写，课上小组合作 答疑解惑。重点难点 重点 等差数列前n项和公式及其推导过程。难点 等差数列前n项和公式的应用。一 学习目标 1 掌握数列的前n项和与之间的关系 2 通过实例探索并掌握等差数列的前n项和公式及...