一、选择题（每题5分，共50分）
1、已知m=，n=,则m∩n=（
a．中，若a1 + a5 + a9= ,则tan(a4 + a6)=（
abc．1d．-1
答案：a3、若函数f(x)=x(x - c)2在x=2处有极大值，则常数c为（ ）
a．2b．6c．2或6d．-2或-6
答案：b4、如图所示，空间四边形abcd中，ab=bd=ad=2，bc=cd=，ac=，延长bc到e，使ce=bc，f是bd的中点，异面直线 af、de所成角为（ ）
a．30b．45c．60d．90°
答案：c5、已知，则的值是（ ）
abcd．
答案：d6、把函数（其中为锐角）的图象向右平移个单位或向左平移个单位都可使对应的新函数成为奇函数，则原函数的一条对称轴方程是（ ）
abcd．
答案：d7、已知数列中，，sn为数列的前n项和，且sn 与的一个等比中项为n，则s3的值为（ ）
abcd．1
答案：b年广州亚运会中，男子4×100m接力赛是众多观众所关心的赛事之一，假定在进行该项比赛前，某教练根据甲、乙、丙、丁这四位参赛队员平时的训练记录，作出战术安排，决定队员甲不能跑第一棒，队员乙不能跑第二棒，队员丙不能跑第三棒，那么该参赛队员的不同参赛顺序的种数有（ ）
a．10b．11c．12d．13
答案：b9、已知δabd是等边三角形，且那么四边形abcd的面积为（ ）
abcd．
答案：a10、二次函数f(x)=ax2 + bx + c的图象开口向下，对称轴x=1，图象与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈(2，3)，则有（ ）
a．abc＞0b．a + b + c＜0c．a+c＜bd．3b＜2c
答案：c二、填空题（每题4分，共24分）
11、已知函数，那么不等式f(x)≥1的解集为 。
答案：（-0]∪[3，+∞
12、已知命题p:“”命题q:“”若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是 。
答案：[e,4]
13、计算dx= 。
答案：214、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 。
答案：3615、已知m是δabc内一点，且若δmbc, δmab,δmac的面积分别为，x,y，则的最小值是 。
答案：1816、已知函数f(x)=aln(x + 1) -x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p,q且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 。
答案：[15,+
三、解答题。
17、在δabc中，角a、b、c所对的边分别是a,b,c，.
1）求角c；
2）若δabc的最短边长是，求最长边的长。
答案：（1）∵，a为锐角，则，，又，∴b为锐角，则，又c∈（0，π）
2）∵，a＞b，∴a＞b，∴c最大，b最小，由正弦定理。
得。18、已知δabc的内角a、b、c所对边分别为a,b,c，设向量 ，且。
1）求tana·tanb的值；
2）求的最大值。
答案：（1）由得，即。
也即4cos(a - b)=5cos(a + b)，∴4cosacosb + 4sinasinb=5cosacosb –
5sinasinb. ∴9sinasinb=cosacosb. ∴tana·tanb=.
（当且仅当a=b时即等号）。
的最大值为。
19、如图正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直，ad⊥cd, ab//cd，ab=ad=2，cd=4，m为ce的中点。
i）求证：bm//平面adef；
ii）求证：平面bde⊥平面bec；
iii）求平面bec与平面adef所成锐二面角的余弦值。
答案：（1）证明：取de中点n，连结mn，an在δedc中，m、n分别为ec, ed的中点，所以mn//cd，且mn=cd.
由已知ab//cd, ab=cd，所以mn//ab, 且mn=ab。所以四边形abmn为平行四边形，所以bm//an又因为an平面adef，且bm平面adef，所以bm//平面adef。
2）证明：在正方形adef中，ed⊥ad，又因为平面adef⊥平面abcd，且平面adef∩平面abcd=ad，所以ed⊥平面abcd，所以ed⊥bc.在直角梯形abcd中，ab=ad=2, cd=4，可得bc=,在δbcd中，bd=bc=，cd=4，所以bc⊥bd。
所以bc⊥平面bde，又因为bc平面bce，所以平面bde⊥平面bec。
3）由（2）知ed⊥平面abcd，且ad⊥cd。以d为原点，da, dc, de所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。b(2,2,0), c(0,4,0), e(0,0,2)，平面adef的一个法向量为m=(0,1,0).
设n=(x,y,z)为平面bec的一个法向量，因为。
所以，令x=1，得y=1，z=2，所以n=(1,1,2)为平面bec的一个法向量，设平面bec与平面adef所成锐二面角为θ，则，所以平面bec与平面adef所成锐二面角为余弦值为。
20、定义：两个连续函数f(x)，g(x)在闭区间[a，b]上都有意义，我们称函数｜f(x) -g(x)｜在[a，b]上的最大值叫做函数f(x)与g(x)在[a，b]上的绝对值差。
1）求两连续函数f(x)=2x3 + x - 5与g(x)=x3 - 2x2 + 5x - 10在闭区间[-3,2]上的绝对差；
2）若两连续函数f(x)=ln(x2 + 1) +2k与g(x)=x + k在闭区间[-1,1]上绝对差为2，求k的值。
答案：（1）令f(x)=f(x) -g(x)=2x3 + x - 5 - x3 - 2x2 + 5x - 10)= x3 + 2x2 - 4x + 5,则f＇(x)=3x2 + 4x - 4=(3x - 2)(x + 2),令f＇(x)=0得x=-2或。
由表可知x∈[-3，2]时，f(x)∈[13] ∴绝对差等于13.
2）f(x)=f(x) -g(x)=ln(x2 + 1) -x + k,
x∈[-1，1]，f(x)∈[f(1)，f(-1)],即f(x)∈[ln2 - 1 + k，ln2 + 1 + k],由题知：ln2 - 1 + k= -2或ln2 + 1 + k=2, ∴k=-1 - ln2或k=1 - ln2.
21、设正整数数列满足a1=2，a2=6，当n≥2时，有。
1）求a3的值；
2）求数列的通项；
3）记，证明：对任意n∈n*，.
答案：（1）n=2时，，由已知a1=2，a2=6，得｜36 - 2a3｜＜1，因为a3为正整数，所以a3=18，猜想an=2·3n-1，下面求数学归纳法证明之。
证明：（i）n=1,2时命题成立，（ii）假设当n=k时成立，即ak=2·3k-1,则ak-1=2·3k-2，于是。
整理得，由归纳假设得。
∵ ak+1为正整数，∴ak+1=2·3k,即当n=k + 1时，命题仍成立由(i)，（ii）知：对于，都有an=2·3n-1成立。
2）证明：由②
得③-③得：④
-⑤式得：即。
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