1、求面积。
如图，四边形abcd和四边形defg都是正方形，已知三角形afh的面积为6平方厘米，求三角形cdh的面积。
答案。分析解答：通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．
直接找三角形hdc与三角形afh的关系还很难，而且也没有利用"四边形abcd和四边形defg是正方形"这一条件．我们不妨将它们都补上梯形defh这一块．寻找新得到大三角形cef和大直角梯形defa之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形afg与三角形hdc面积相等，也是6平方厘米。
摆棋子问题。
把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由。
答案。因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同时，任两盒中棋子数不一样，所以7个盒中共有的棋子数至少为1+2+3+4+5+6+7=28，但题目中只给了27枚棋子，所以，题中要求不能办到。
相遇问题。1、甲每分钟走80米，乙每分钟走60米，甲、乙二人从a、b两地同时出发相向而行，二人在离a、b两地中点120米的地方相遇。如果甲在中途休息一段时间继续前进，那么，二人还在离中点120米的地方相遇，甲休息了几分钟？
解答：两次相遇点相距120+120=240米，甲不休息，在距中点120米时，乙距第一次相遇点240÷80×60=180米，此时两人之间距离240+180=420米由乙一人走完，用7分钟，所以甲休息了7分钟。
2.先任意指定7个整数，然后将它们按任意顺序填入2×7方格表第一行的7个方格中再将它们按任意顺序填入方格表第二行的方格中，最后将同一列的两个数之和相乘，问积是奇数还是偶数？
解答：若积是奇数，则每列和都是奇数，所以七列和的总和必为奇数。而两行中所填的7个整数相同，两行总和必为偶数，所以不可能。
容器题。1.在十个容器中分别装有1到10千克的水，每次操作可由盛水多的甲容器向盛水少的乙容器注水，注水量恰好等于乙容器原有的水量，问能否在若干次操作后，使得5个容器都装有3千克水，而其余容器分别装有6，7，8，9，10千克的水？
如果能，请说明操作程序；如不能，请说明理由？
解答按题中操作，装有奇数千克重量的容器数量不会比原来增加，开始有5个奇数后来有7个奇数，不可能。
2.有一次“25分制”的女子排球比赛中，中国队以2：1战胜俄罗斯队，而中国队三局比赛的总得分却比俄罗斯队三局比赛的总得分少21分，中国队输给俄罗斯队的那局比分是几比几？
解答获胜每局至少相差2分，由于总分中国队比俄罗斯少21分，可知输掉一局的比分差是21+2×2=25分，所以比分为0：25。
涂色。1.把图中的圆圈涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？
解答。图中共有5条直线，若同一条直线上的红圈数都是奇数，则统计出的红圈总数是奇数，而图中每个圆圈都是两条直线的交点，在统计时都被计算两遍，所以红圈总数是偶数，不可能。
2.在一个4×5的方格纸中，先将其中的任意4个方格染黑，然后按以下规则继续染色：如果某个格至少与两个黑格都有公共边，就将这个格染黑。这样操作下去，能否将整个方格纸都染成黑色？
解答按题中规则染色，黑格的周长只能减少或保持不变，令每个方格的边长是1，开始时黑格周长至多是16，若全染黑，黑格周长是18，不可能。
按题中操作，装有奇数千克重量的容器数量不会比原来增加，开始有5个奇数后来有7个奇数，不可能。
规律填数。一、甲有5块糖，乙有12块糖。每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍。经过2009次这样的操作后，两个人的糖数分别是多少？
解答：(5，12)→(10，7)→(3，14)→(6，11)→(12，5)→(7，10)→(14，3)→(11，6)→(5，12)，8次一循环。2009÷8=251……1，所以最后甲有10块，乙有7块。
二、用1—7这七个数码组成三个两位数和一个一位数，并且使这四个数的和等于100。在满足要求的答案中，最大的数最大可能是多少？最小的两位数最小可能是多少？
解答：加数数字和为28，结果数字和为1，28-1=27，说明有三个进位，那么个位数字相加一定为20，十位数字相加一定为8。8=1+2+5=1+3+4，所以最大的数最大可能为57，最小的数可能为12。
颜色相同。一、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
解答： “最不利”的情况是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。这样摸出的9个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出10个球。
二、一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？
解答：将15个座位顺次编为1～15号。如果2号位、5号位已有人就座，那么就座1号位、3号位、4号位、 6号位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。
根据这一想法，让2号位、5号位、8号位、11号位、14号位都有人就座，也就是说，预先让这5个座位有人就座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必将与已就座的人相邻。因此所求的答案为5人。
最小值。一、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？
解答：最不利的情况是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。
因此所求的最小值是12。
二、有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。
解答：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有……48，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。
钥匙。一、一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？
解答：从最不利的情形考虑。用10把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了9次，前8次都没打开，第 9次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙(若没打开，则第10把钥匙与这把锁相匹配)。
同理，第二把锁试验8次……第九把锁只需试验1次，第十把锁不用再试(为什么？)。共要试验9+8+7+…+2+1=45(次)。
所以，最少试验45次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配。
二、将60个红球和8个白球排成一圈，相邻红球个数最多的那一组至少有几个球？
解答：60÷8=7……6 7+1=8(个)
两位数。用0，1，2，3，…，9这10个数字组成5个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是个奇数，并且尽可能的大，那么这5个两位数的和是多少？
答案。要求5个数的和为奇数，则5个数中有奇数个奇数，又要和最大，先考虑用9，8，7，7，5做十位，那么个位数字为0，1，2，3，4，5，这样组成的5个数中只有2个是奇数。所以十位调整为9，8，7，6，4，这样个位为0，1，2，3，5，这样就符合题意且和为最大：
绳子问题。有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断。问绳子共被剪成了多少段。
答案。1-180中，3的倍数有60个，4的倍数有45个，而既是3的倍数又是4的倍数的数一定是12的倍数，这样的数有180÷12=15个。注意到180厘米处无法标上记号，所以标记记号有：
(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，绳子被剪成90段。
余数。某个自然数被247除余63，被248除也余63.那么这个自然数被26除余数是多少？
解答由余数的性质，这个数减去63得到的新数既能被247整除，也能被248整除，而相邻的两个整数互质，所以新数能被247×248整除，显然能被26整除。于是这个数除以26的余数等于63除以26的余数，为11.
解余数问题时，掌握余数的性质很重要：若a÷b…n,则b|a-n. 若a|b, c|b,且a,c互质，则a×c|b.
租车。学校乘车外出春游，如果每人坐65人，则有15人乘不上车；如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。学校一共租了多少辆车？
解答：把第二种方案看成每车坐70人，则少70人。(15+70)÷5=17(辆)
运算符。把+，-四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立(每个运算符号只准使用一次)：(5○13○7)○(17○9)=12。
解答：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定"÷"的位置。当"÷"在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
(5÷13-7)×(17+9)。当"÷"在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。当"÷"在第三个○内时，可得下面的填法：
(5+13×7)÷(17-9)=12。
填数。把1～9这九个数字填到下面的九个□里，组成三个等式(每个数字只能填一次)：
解答：如果从加法与减法两个算式入手，那么会出现许多种情形。如果从乘法算式入手，那么只有下面两种可能：
2×3=6或2×4=8，所以应当从乘法算式入手。因为在加法算式□+□中，等号两边的数相等，所以加法算式中的三个□内的三个数的和是偶数；而减法算式□-□可以变形为加法算式□=□所以减法算式中的三个□内的三个数的和也是偶数。于是可知，原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。
若乘法算式是2×4=8，则剩下的六个数1，3，5，6，7，9的和是奇数，不合题意；若乘法算式是2×3=6，则剩下的六个数1，4，5，7，8，9可分为两组：4+5=9，8-7=1(或8-1=7);1+7=8，9-5=4(或9-4=5)。
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