衡水二中2019届高三数学学科暑假作业四。
命题人： 王占虹。
1．已知直线和互相垂直，则a的值为（ ）
a. -1 b. 0 c. 1 d. 2
2．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）
a. b. c. d.
3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为。
a. b. c. d.
4．已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为（ ）a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
5．已知成等差数列，成等比数列，则椭圆的离心率为（ ）
a. b. c. d.
6．已知点 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点， 为坐标原点，点在双曲线的右支上， ，的面积为 ，且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的方程为（ ）
a. b. c. d.
7．若抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为( )
a. 6 b. c. 9 d.
8．设双曲线的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为( )
a. b. 2 c. d.
9．若抛物线上一点(（非原点）到轴的距离是到轴距离的3倍，那么它到抛物线准线的距离是（ ）a. b. c. d.
10．抛物线上的点到直线的最短距离为( )
a. b. c. d.
11．设、是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
a. b.
b. c. d.
12．如图，已知椭圆，双曲线，若以为长轴的直径的圆与的一条渐近线交于两点，且与该渐近线的两交点将线段三等分，则的离心率为（ ）a. b. c. d.
13．设为抛物线的焦点，为抛物线上两点，若，则。
14．已知， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且为直角，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则的值为。
15．已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为b2、b1、a、f，延长b1f与ab2交于点p，若∠b1pa为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为___
16．已知为坐标原点，过点作两条直线与抛物线：相切于，两点，则面积的最小值为。
17．已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，面积的最大值为。（ⅰ求椭圆的方程；
ⅱ）过点作关于轴对称的两条不同直线分别交椭圆于与，且，证明直线过定点，并求的面积的取值范围。
18．已知过抛物线的焦点向圆引切线（为切点），切线的长为。（ⅰ求抛物线的方程；
ⅱ）作圆的切线，直线与抛物线交于两点，求的最小值。
19．已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，.
1）当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；
2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点，，且（其中是坐标原点），求的取值范围。
20．已知动点到定直线：的距离比到定点的距离大2.
1）求动点的轨迹的方程；
2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与曲线交于，两点，使得为定值。如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由。
21．设抛物线，直线交抛物线于两点，且。
1）求抛物线的方程；
2）互相垂直的直线分别切抛物线于两点，试求两切线交点的轨迹方程。
22．在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为，(为参数)。以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
2）若曲线与相交于两点，求的值。
23．已知函数，其中。
1）当时，求不等式的解集；
2）已知关于的不等式的解集为，求的值。
衡水二中2019届高三数学学科暑假作业四答案。
1．a详解：时，方程分别化为： 此时两条直线相互垂直，因此满足题意．时，由于两条直线相互垂直，可得： 解得，舍去．
综上可得：.故选：a．
2．c详解：设圆心坐标为，圆的半径为1，且过点，解得，所求圆的方程为。故选：c.
3．b详解：∵双曲线的离心率为，∴=解得a=b，该双曲线渐近线方程为y=±x．故选：b．
4．c详解：是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，，，故选c.
5．a详解：由题意成等差数列，知，所以，成等比数列，则，所以，所以，所以，所以，又椭圆，所以，从而有，所以，故选a.
6．b详解：根据题中条件，可以断定，根据焦点三角形面积公式可得，可以确定，又因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，可知该双曲线是等轴双曲线，所以双曲线的方程为，故选b.
7．b详解：抛物线的焦点，设直线方程为，联立方程组，得，设，则，由抛物线的性质得，故选：b.
8．c详解：∵的一条渐近线为另一条渐近线为。
过其焦点的直线与垂直，∴的方程为
由得垂足a的横坐标则进而可得：
由由可得， 故选c.
9．c详解：根据题意设，代入抛物线方程，则由抛物线的定义可得点到抛物线准线的距离为故选c.
10．b详解：设抛物线上的任意一点，由抛物线的性质。
点a到直线的距离易得。
由二次函数的性质可知，当时，最小距离。故选b.
11．a详解：当椭圆的焦点在轴上，即时，则位于短轴的端点时，取最大值，要使上存在点满足，解得： 当椭圆的焦点在轴上时，则位于短轴的端点时，取最大值，要使上存在点满足，，，解得：
，的取值范围是故选a.．
12．a详解：设直线与椭圆在第一象限内的交点为且设，其中则，故，所以，也就是，所以，选a．
13．12详解：过点两点分别作准线的垂线，过点作的垂线，垂足为，设，则，因为，所以，在直角三角形中，，,所以，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，将其代入抛物线的方程可得，解得，所以点，又由，所以
所以．14．2.详解：如图，设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义得：
|pf1|+|pf2|=2a1,|pf1|||pf2|=2a2，|pf1|=a1+a2,|pf2|=a1a2,设|f1f2|=2c,为直角，在△pf1f2中由勾股定理得，4c2=(a1+a2)2+(a1a2)2，化简得：，该式可变成：.故答案为：
2.15．【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，（c=）
可得∠b1pa等于向量与的夹角，∵a（a，0），b1（0，﹣b），b2（0，b），f2（c，0）
=（a，﹣b），=c，﹣b），∵b1pa为钝角，∴与的夹角大于，由此可得＜0，即﹣ac+b2＜0，将b2=a2﹣c2代入上式得：a2﹣ac﹣c2＜0，不等式两边都除以a2，可得1﹣e﹣e2＜0，即e2+e﹣1＞0，解之得e＜或e＞，结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得＜e＜1，即椭圆离心率的取值范围为（，1）．故答案为（，1）．
16．.详解：设，以为切点的切线方程为，即，同理为切点的切线方程为，代入，可得，过的直线方程为，联立，可得，又到直线的距离为，当时，等号成立，故答案为。
17．（ⅰ设，则，设，则。
解得。所以椭圆的方程为。
ⅱ）设方程为，联立，得，因为关于轴对称的两条不同直线的斜率之和为0，即，即，得，即。解得：.直线方程为：，所以直线过定点，又，令 ，又。
18．试题解析：（ⅰ因为圆的圆心为，由切线长定理可得，即，解得：或，又，，所以抛物线的方程为。
ⅱ）设，直线方程为，代入得，得，由抛物线的性质得：，.
又直线与圆相切，则有，即，因为圆在抛物线内部，所以得：，此时。由二次函数的性质可知当时，取最小值，即的最小值为。
19．详解：（1）由题意是线段的垂直平分线，所以，所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，∴，故点的轨迹方程是。
2）设直线：，，直线与圆相切，得，即，联立消去得：，得， ，所以，得，，解得：或，故所求范围为。
20．详解： （1）设点的坐标为，因为动点到定直线：的距离比到定点的距离大2，所以且，化简得，所以轨迹的方程为。
2）假设存在满足条件的点（），直线：，有 ，设，，有，，，据题意，为定值，则，于是，则有解得，故当时，为定值，所以。
21．详解：（1)联立消去得，∵，抛物线的方程为。
2）设切点，不妨设。当时，∵在抛物线上，.∴即。
当时，，，在抛物线上，.∴即。由①②得，是关于的方程，即的两根，.∵即，∴.即。∴两切线交点的轨迹方程为。
22．详解：（1）由（为参数）可得的普通方程为，又的极坐标方程为，即。
所以的直角坐标方程为，2）的参数过程可化为（为参数），代入得：，设对应的直线的参数分别为，所以，所以。
23．试题解析：（ⅰ当时，当时，由得，解得，当时，无解，当时，由得，解得，所以的解集是，ⅱ）记，则。
由解得，又已知的解集为，所以于是．
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