假期作业参考

卷二14

7.已知定义在正实数集上的函数，其中。设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同。

1）若，求的值；

2）用表示，并求的最大值。

解：（1）设与在公共点处的切线相同。

由题意知，∴

由得，，或（舍去。

即有 2）设与在公共点处的切线相同。

由题意知，∴

由得，，或（舍去。

即有。令，则，于是。

当，即时，；

当，即时。故在的最大值为，故的最大值为

例2（2024年全国高考（理））

四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）

a．150种 b．147种 c．144种 d．141种。

解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。

以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。

答案：d。例4：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。

ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；

ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

ⅲ）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

思路分析：本题是一道概率综合运用问题，第一问中求“至少有一次末击中问题”可从反面求其概率问题；第二问中先求出甲恰有两次末击中目标的概率，乙恰有3次末击中目标的概率，再利用独立事件发生的概率公式求解。第三问设出相关事件，利用独立事件发生的概率公式求解，并注意利用对立、互斥事件发生的概率公式。

解：(1)记“甲连续射击4次至少有一次末中目标”为事件a1，由题意知，射击4次，相当于作4次独立重复试验，故=

答：甲连续射击4次至少有一次末中目标的概率为：

2）记“甲射击4次，恰有2次射中目标”为事件a2，“乙射击4次，恰有3次射中目标”为事件b2，则。

p，由于甲乙射击相互独立，故。

答：两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为。

3）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件a3“乙第i次射击末中”为。

事件di（i=1,2,3,4,5）,则a3= ，且。

由于各事件相互独立，故。

答：乙恰好射击5次后被中止射击的概率为。

21．（本小题满分12分）

解：（i）由题意可知。即。又。

圆的圆心坐标为（，0），半径为。

由直线与圆相切可得。

∴椭圆的方程为。

（ⅱ）假设存在满足条件的点。

由题意可设直线的方程为。

设。为△的内角平分线。即。又

存在满足条件的点，点的坐标为。