2009数列汇总。
1.(2024年广东卷文)（本小题满分14分）
已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足－=+
1）求数列和的通项公式；
2）若数列 的前n项和，数列{}的前n项和。
ⅰ）求数列{}与{}的通项公式；
ⅱ）设，证明：当且仅当n≥3时。
思路】由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出后，进而得到，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。
解析】(1)由于。
当时， 又当时。
数列项与等比数列，其首项为1,公比为 .
2)由(1)知。
由即即。又时成立，即由于恒成立。
因此，当且仅当时，
6.（2009江西卷理）（本小题满分14分）
各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有。
1）当时，求通项。
2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有。
解：（1）由得。
将代入化简得。
所以。故数列为等比数列，从而。
即。可验证，满足题设条件。
2) 由题设的值仅与有关，记为则。
考察函数 ,则在定义域上有。
故对， 恒成立。
又 ,注意到，解上式得。
取，即有。7.（2009天津卷文）（本小题满分12分）
已知等差数列的公差d不为0，设。
ⅰ）若 ,求数列的通项公式；
ⅱ）若成等比数列，求q的值。
ⅲ）若。答案】（1）（2）（3）略。
解析】 （1）解：由题设，代入解得，所以
2）解：当成等比数列，所以，即，注意到，整理得。
3）证明：由题设，可得，则。
-②得，+②得，③
式两边同乘以 q，得。
所以。3）证明：
因为，所以。
若，取i=n，若，取i满足，且，由（1）（2）及题设知，，且。
1 当时，，由，即，所以。
因此。2 当时，同理可得因此 .
综上，考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。
8.(2009湖北卷理)（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知数列的前n项和（n为正整数）。
ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。
19.解析：（i）在中，令n=1，可得，即。
当时，又数列是首项和公差均为1的等差数列。
于是。ii)由（i）得，所以。
由①-②得。
于是确定的大小关系等价于比较的大小。
由。可猜想当证明如下：
证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。
2）假设时。
所以当时猜想也成立。
综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有。
证法2：当时。
综上所述，当，当时。
9.（2009四川卷文）（本小题满分14分）
设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。
i）求数列与数列的通项公式；
ii）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；
iii）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；
解析】（i）当时。
又。数列是首项为，公比为的等比数列，3分。
ii）不存在正整数，使得成立。
证明：由（i）知。
当n为偶数时，设。
当n为奇数时，设。
对于一切的正整数n，都有。
不存在正整数，使得成立8分。
iii）由得。
又。当时，当时，14分。
10.（2009湖北卷文）（本小题满分12分）
已知是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55, a2+a7＝16.
ⅰ)求数列的通项公式：
ⅱ）若数列和数列满足等式：an＝＝，求数列的前n项和sn
解（1）解：设等差数列的公差为d，则依题设d>0
由a2+a7＝16.得。
由得。由①得将其代入②得。即。
2）令。两式相减得。于是。
11.（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（ⅰ问3分，（ⅱ问4分，（ⅲ问5分）
已知．ⅰ）求的值；.
ⅱ）设为数列的前项和，求证：；
ⅲ）求证：．
解：（ⅰ所以。
ⅱ）由得即。
所以当时，于是。
所以 ⅲ）当时，结论成立。
当时，有。所以
选择填空仅供大家参考）
一、选择题。
1.(2024年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=
a. b. c. d.2
答案】b解析】设公比为，由已知得，即，又因为等比数列的公比为正数，所以，故，选b
2.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时。
abcd.
解析】由得，，则， ，选c
3.（2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于。
a. -1 b. 1 c. 3 d.7
解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选b。
答案】b4.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为。若是的等比中项， ,则等于。
a. 18b. 24c. 60 d. 90 .
答案：c解析】由得得，再由得则，所以，.故选c
5.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于【 c 】
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