2012高考备考系列材料。
突破新课标高考压轴题——导数。
黑龙江哈尔滨李民。
一、感受高考。
年新课标文21（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为．
i）求a，b的值； （ii）证明：当x>0，且时，．
解：（ⅰ由于直线的斜率为，且过点，故即。
解得，。（ⅱ）解法一）由（ⅰ）得。
要证，即证，当时，即证。
当时，即证。
设，则。则分别在上或上是减函数，所以。
当时，，即。
当时，，即。
综上，当时，
ⅱ）（解法二）由（ⅰ）知，所以。
考虑函数，则。
所以当时，故。
当时， 当时，
从而当。ⅱ）（解法三）
由（1）知．
故要证： 只需证。
为去分母，故分x>1与0当x>1时，需证。
即即需证． （1）
设，则。由x>1得，所以在（1，+）上为减函数．
又因g（1）=0，所以当x>1时 g（x）<0 即（1）式成立．
同理0而由0又因g（1）=0所以当0综上所证，知要证不等式成立．
年新课标文21（本小题满分12分）
设函数。ⅰ）若a=，求的单调区间；
ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围。
解：（ⅰ时，，。
当时；当时，;
当时，。故的单调增区间为，，单调减区间为（-1，0）。
ⅱ）由得。则题中条件当≥0时≥0，等价于当≥0时，≥0，令，则。
若时，则当时，，为增函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0.
若，则当时，，为减函数，而，从而当时＜0，即＜0.
综合得的取值范围为。
年新课标文21（本小题满分12分）
已知函数。1) 设，求函数的极值；
2) 若，且当时， 12a恒成立，试确定的取值范围。
解：（ⅰ当a=1时，对函数求导数，得。
令。列表讨论的变化情况：
所以，的极大值是，极小值是。
ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称。
若上是增函数，从而上的最小值是最大值是。
由于是有。由。
所以。若a>1,则，则，即，产生矛盾。
即此时，当时， 12a不恒成立，所以使恒成立的a的取值范围是
年新课标文21（本小题满分12分）
设函数，曲线在点处的切线方程为。
1）求的解析式；
2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。
解：（ⅰ方程可化为．
当时，． 2分。
又，于是解得。
故． 6分。
ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为。
即 ．令得，从而得切线与直线的交点坐标为．
令得，从而得切线与直线的交点坐标为． 10分。
所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为。
故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为． 12分。
年新课标文19（本小题满分12分）
设函数。ⅰ）讨论的单调性；
ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
解：的定义域为．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
ⅱ）由（ⅰ）知在区间的最小值为．
又．所以在区间的最大值为．
高考常用题型：
1、证明不等式（2023年新课标文-21（2））
构造函数，将不等式问题转化为最值问题。
2、确定（求）使得不等式恒成立的参数范围（2023年新课标文年新课标文-21（2））
不等式恒成立问题利用高低原理转化为最值问题，常用手段：参变分离，求最值或上（下）确界（导数法求最值、均值不等式法求最值、二次函数法求最值）。
3、切线问题（2023年新课标文 -21（1））
解决切线问题的关键是切点，有切点必用，无切点设切点再用（待定系数法）。
4、最值极值问题（2023年新课标文 -21（1））
5、单调区间问题 -19（1））
解决单调区间、最值极值问题概括为“一表定乾坤”，并注意把“求定义域”前置到首步。
6、函数图象交点（个数）问题和函数零点（个数）问题。
通常从单调性、极值或局部最值入手，结合函数图象（数形结合思想）。
小结：导数应用问题最终均可转化为切线、单调区间、最值（或极值）问题，只要把握导数几何意义，导函数值符号对函数的制约，再辅于高低原理和构造函数技巧，即可破解此类问题。
二、拓展高考。
年安徽理17（本小题满分12分）
设a为实数，函数。
（i）求的单调区间与极值；
（ii）求证：当时，
本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力。
（i）解：由。
令的变化情况如下表：
故的单调递减区间是，单调递增区间是，处取得极小值，极小值为。
（ii）证：设。
于是。由（i）知当。
于是当。而。
即。年辽宁理21（本小题满分12分）
已知函数．（i）讨论的单调性；
（ii）设，证明：当时，；
（iii）若函数的图像与x轴交于a，b两点，线段ab中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0．
解：（i）（i）若单调增加。
（ii）若。
且当。所以单调增加，在单调减少。 …4分。
（ii）设函数则。
当。故当8分。
（iii）由（i）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为。
不妨设。由（ii）得。
从而。由（i）知12分。
浙江文21（本小题满分15分）
设函数， ⅰ）求的单调区间；
ⅱ）求所有实数，使对恒成立．
注：为自然对数的底数．
解：本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。
（ⅰ）解：因为。
所以。由于，所以的增区间为，减区间为。
（ⅱ）证明：由题意得，
由（ⅰ）知内单调递增，要使恒成立，只要。
解得。年湖北理21 (本小题满分14分)
已知函数f(x)=ax++c(a＞0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为y=x-1.
ⅰ)用a表示出b,c;
ⅱ)若f(x)＞㏑x在[1,∞]上恒成立，求a的取值范围；
ⅲ)证明：1+++n+1)+)n≥1).
解：本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。（满分14分）
解：（i）（ii）由（i）知， 令。则。
i）当。若是减函数，所以。
即上不恒成立。
ii）当。若是增函数，所以。
即时， 综上所述，所求a的取值范围为。
整理得。解法二：用数学归纳法证明。
（1）当n=1时，左边=1，右边不等式成立。
（2）假设n=k时，不等式成立，就是。
那么。天津文19（本小题满分14分）
已知函数，其中．
ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）当时，求的单调区间；
ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．
解：（ⅰ当时，
所以曲线在点处的切线方程为。
解：（ⅱ令，解得。
因为，以下分两种情况讨论：
（1）若变化时，的变化情况如下表：
所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。
（2）若，当变化时，的变化情况如下表：
所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。
（ⅲ）证明：由（ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当时，在（0，1）内单调递减，所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。
（2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若。
所以内存在零点。
若。所以内存在零点。
所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。
综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。
2023年福建文22（略），2023年全国2理文22（略）
三、展望高考。
1、证明不等式（2023年新课标文-21（2））
构造函数，将不等式问题转化为最值问题。**：去年已考，今年再考，可能变化函数形式，或变化设问方式。
2、确定（求）使得不等式恒成立的参数范围问题（2023年新课标文年新课标文-21（2）），**：可能出现多个自由变量（参见：2023年师大附中二模21）或两个相关变量（最终可转化为一个自由变量）。
3、函数图象交点（个数）问题和函数零点（个数）问题。
通常从单调性、极值或局部最值入手，结合函数图象（数形结合思想），**：出现概率较大。
4、含参数的单调区间问题（2023年师大附中二模21（2）（略），2023年重庆理18（略）
此类问题常转化恒成立问题，恒成立问题是高考近几年热点，今年有可能趋冷。**：出现概率中下。
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