学而思2023年秋季素质123班难题汇总。
开篇语。学而思2023年秋季课程，在北京市jw大禁奥数与升学挂钩的政策下，一如既往地如期开始了。无论大背景如何，数学思维方法的训练还是必要的，让我们这些对数学有着浓厚兴趣的家长，与孩子们一起继续学习。
知识靠积累，学习靠兴趣，只有热爱，才能学好，给孩子做引路人，让孩子坦然前行。
声明：本文档仅收录各讲有难度题目，并对题目进行解析。文档未对各讲内容进行汇总和分析，各讲内容的总结和剖析可以参见学而思老师的相关文档。如您对难题感兴趣，可以参阅本文档。
第一讲循环小数与分数。
分数是一定可以化成小数的，小数不一定都可以化成分数，无限不循环小数不能化成分数。
小数化分数的目的：是为了计算，主要是为了乘除的计算。尤其循环小数的乘除，小数不化成分数，几乎无法计算。
一） 分数化小数。
分数是一定可以化成小数的，分数可以化成如下3类小数：
1) 有限小数。
2) 无限纯循环小数。
3) 无限混循环小数。
分数化小数，化成哪一类？判断方法如下：
先将分数化成最简分数，再看分母：
a、分母只有因子2或5有限小数。
b、分母没有因子2和5无限纯循环小数。
c、分母有因子2和5，还有其他因子无限混循环小数。
分数化小数的方法。
分数化小数的方法：除。相除后，要么得到有限小数，要么得到循环小数(找到循环节)。
特殊的地方是：如果分数的分母可以表示成都是数字9，就可以转换成无限纯循环小数；如果分数的分母可以表示成“左边连续的数字9右边连续的数字0”，就可以转换成无限混循环小数。这2种情况，是有计算方法的。
例如：13/99=0. ，113/990=0.
1。二） 小数化分数。
有限小数、无限纯循环小数、无限混循环小数，可以化成分数，无限不循环小数不能化成分数。
1 有限小数化分数。
a、分母：1加几个0做分母(0的个数与小数的位数相同)
b、分子：小数部分。
c、化为最简。
2 无限纯循环小数化分数。
a、分母：全是9，9的个数与循环节的位数相同。
b、分子：循环节。
c、化为最简。
3 无限混循环小数化分数。
a、分母：9和0，9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
b、分子：“第2个循环节以前的小数部分的数字组成的数”-“不循环部分的数字组成的数”
c、化为最简。
11、【例4的补充】将99个分数、、…化成小数，问：其中混循环小数有多少个？
难度级别】★★
解题思路】先要搞清楚如何判断：有限小数(分母只有)、无限纯循环小数(分母无)、无限混循环小数(分母有和其他)。
分母有2的：50个，分母有5的：20个，既有2又有5的：10个，所以分母有2或5的共有：50+20-10＝60(个)。这60个包括：有限小数、无限混循环小数。
有限小数：只有2的共6个，只有5的共2个，既有2又有5的共6个，合计：14个。
所以无限混循环小数有：60－14＝46(个)。
答案】46。
12、【例5的第2问】将循环小数0. 2与0. 7967相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？
难度级别】★★
解题思路】先化成分数，相乘，分子分母约分，再化成小数。
004856六个数字循环，100÷6＝16…4，第100位是8，后面的5四舍五入进1，进位后第100位(近似值的最后一位)是9。
答案】9。13、【例6的补充】真分数化成小数后，从小数点后第一位数字起连续若干个数字之和为1992，求的值。
难度级别】★★
解题思路】化成小数很神奇，都是有142857这六个数字组成，并循环的，而且六个数字从左到右的相对顺序位置是不变的。
六个数字的数字和：1+4+2+8+5+7＝27。
1992÷27＝73…21，27－21＝6，最后一个不完整的周期中的数字和是21，说明后面缺6，观察以上6个数，的后面的4+2＝6，所以＝6。
和为1992的最后一个数字是第6×73+4＝442(位)。
答案】6。14、【例6】已知真分数化成小数后，从小数点后第一位数字起连续若干个数字之和为1999，求的值。
难度级别】★★
解题思路】方法一为本人提供，方法二是老师提供的。
方法一，化成小数，循环节都是6位。
根据组成循环节的6个数字是否相同，找规律相同相同。
数字和：0+7+6+9+2+3＝27；数字和：1+5+3+8+4+6＝27。
1999÷27＝74…1，最后一个不完整的周期中的数字和是1，观察以上12个数，在一个周期内前几位的数字和为1的只有0.153846，即：，＝2。
方法二，通过代数方法证明数字和为27。
77×999×ɑ，999|，999|(+999（等于999的2倍不可能）。
由+=999得到：c+f=9，b+e=9，a+d=9，并且都没有进位，所以：a+b+c+d+e+f=9×3=27。
1999÷27＝74…1，最后一个不完整的周期中的数字和是1。
当ɑ=1时，a=0；当ɑ=2时，a=1；当ɑ＞2时，a＞1。真分数为，ɑ=2。
答案】2。15、【例8】我们把由数字0和7组成的小数叫做“特殊数”，例如.007都是“特殊数”。如果我们将1写成若干个特殊数的和，最少要写成多少个？
难度级别】★★
解题思路】将7除以7变成1。
若干个特殊数的和写成1，说明这样的特殊数都是小于1的。
假设：a1+a2+…+an＝1，则 (a1+a2+…+an)/7＝＝0. 4285。
除以7后，每个数位上要么是0要么是1， 4285中的8至少要有8个1相加才可以得到，所以1最少要写成8个特殊数的和。
构造如下：a1＝0. 7777，a2＝0.
7777，a3＝0. 7077，a4＝0. 7077，a5＝0.
0077，a6＝0. 0070，a7＝0. 0070，a8＝0.
0070。
答案】8。16、【学案3】和化成循环小数后第100位上的数字之和是___
难度级别】★★
解题思路】用到：2009＝7×287，2002＝7×286，1＝0.。，1＝0.。
每一个小数位都是数字9。
证明一下1＝0.：a＝0.，10a＝9.，10a-a＝9. -0.，9a＝9，a＝1。
答案】9。17、【学案4】图中圆周上的10个数，按顺时针次序可以组成许多整数部分是一位的循环小数(10个数字恰好各用一次)，例如：1.
8929592。问：在所有这种数中最大的是几？
难度级别】★★
解题思路】最大肯定整数部分是9，9.2＞9.1，看2个9.2的。
9.291592918＜9.291892915，后者大。
小数部分***是不变的了，5肯定是循环节的最后一位，5后面显然以9开始最大，92＞91，以92为循环节的开始，循环节为92915。
最大数为：9.2918291。
答案】9.2918291。
18、【作业6】给小数0.7082169453添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数。已知小数点后第100位上的数字是5，求这个循环小数。
难度级别】★☆
解题思路】3是循环节的末位。100－10＝90。
循环节有10个数字，7开始3结束，90÷10＝9…0，第100位为3；
循环节有9个数字，0开始3结束，90÷9＝10…0，第100位为3；
循环节有8个数字，8开始3结束，90÷8＝11…2，第100位为2；
循环节有7个数字，2开始3结束，90÷7＝12…6，第100位为5；
循环节有6个数字，1开始3结束，90÷6＝15…0，第100位为3；
循环节有5个数字，6开始3结束，90÷5＝18…0，第100位为3；
循环节有4个数字，9开始3结束，90÷4＝22…2，第100位为4；
循环节有3个数字，4开始3结束，90÷3＝30…0，第100位为3；
循环节有2个数字，5开始3结束，90÷2＝45…0，第100位为3。
所以，这个循环小数是：0.70816945。
答案】0.70816945。
19、【作业7】纯循环小数0. b写成最简分数时，分子与分母之和是58，请你写出这个循环小数。
难度级别】★★
解题思路】0. b＝；999＝33×371。
大家还记得约数个数定理吗？(3+1)×(1+1)＝8。
999小于58的约数有5个；其他3个约数大于×37）。
分子分母约分后，剩余的也是约数，最简分数分母只能是37。因为如果分母是，则58减去分母后差比分母大（差为分子），与题目给的纯小数矛盾。
分子为：58－37＝21。这个循环小数为：＝＝
答案】0. 6。
第二讲因数与倍数（一）
一） 最大公因数。
1 短除法：出现互质就停（有就停、不是都互质），乘一边；
2 分解质因数：你有我也有（公共质因子、取最低次）；
3 辗转相除法：不断“除数÷余数”，除到余0看除数。
二） 最小公倍数。
1 短除法：两两互质才停，乘半圈；
2 分解质因数：大家有才是真的有（所有质因子、全取最高次）。
三） 分数的最大公因数、最小公倍数的求法。
分数的求法：子同母反。即：求最大公因数，分子的最大公因数÷分母的最小公倍数；求最小公倍数，分子的最小公倍数÷分母的最大公因数。
四） 因数的找法。
因数总是成对出现的，一个自然数的每一对因数之积都等于这个自然数本身，如：60＝1×60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×10。
21、【例7】有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米。已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人首次同时回到出发点？
学而思2023年秋季素质123班难题汇总
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