16.8 如图所示的两个同轴圆形导体线圈，小线圈在大线圈上面．两线圈的距离为x，设x远大于圆半径r．大线圈中通有电流i时，若半径为r的小线圈中的磁场可看作是均匀的，且以速率v = dx/dt运动．求x = nr时，小线圈中的感应电动势为多少？感应电流的方向如何？
解答]环电流在轴线上产生的磁感应强度为。
当x>>r时，磁感应强度为
小线圈的面积为s = r2，通过的磁通量为。
当小线圈运动时，感应电动势为。
当x = nr时，感应电动势为。
感应电流的磁场与原磁场的方向相同，感应电流的方向与原电流的环绕方向相同．
16.9 如图所示，匀强磁场b与矩形导线回路的法线n成θ =60°角，b = kt（k为大于零的常数）．长为l的导体杆ab以匀速v向右平动，求回路中t时刻的感应电动势的大小和方向（设t = 0时，x = 0）．
解答]经过时间t，导体杆运动的距离为。
x = vt，扫过的面积为 s = lx = lvt，通过此面积的磁通量为。
φ =b·s = bscosθ =lvkt2/2．
感应电动势的大小为。
= dφ/dt = lvkt．
由于回路中磁通量在增加，而感应电流的磁通量阻碍原磁通量增加，其磁场与原磁场的方向相反，所以感应电动势的方向是顺时针的．
16.10长为b，宽为a的矩形线圈abcd与无限长直截流导线共面，且线圈的长边平行于长直导线，线圈以速度v向右平动，t时刻基ad边距离长直导线为x；且长直导线中的电流按i = i0cosωt规律随时间变化，如图所示．求回路中的电动势ε．
解答]电流i在r处产生的磁感应强度为。
穿过面积元ds = bdr的磁通量为。
穿过矩形线圈abcd的磁通量为。
回路中的电动势为。
显然，第一项是由于磁场变化产生的感生电动势，第二项是由于线圈运动产生的动生电动势．
16.11如图，一个矩形的金属线框，边长分别为a和b（b足够长）．金属线框的质量为m，自感系数为l，忽略电阻．线框的长边与x轴平行，它以速度v0沿x轴的方向从磁场外进入磁感应强度为b0的均匀磁场中，b0的方向垂直矩形线框平面．求矩形线框在磁场中速度与时间的关系式v = v(t)和沿x轴方向移动的距离与时间的关系式x = x(t)．
解答]由于b边很长，所以线框只有右边在做切割磁力线的运动．当线框速度为v时，产生的动生电动势为 ε b0**．
当线框中的电流为i时，产生的自感电动势的大小为 ．
根据欧姆定律得 ε l = ir，由于不计电阻，所以有。
右边所受的力为 f = iab0，根据牛顿第二定律得。
微分得 ，
联立①和②式得微分方程。
这是简谐振动的微分方程，其通解为。
当t = 0时，v = v0，所以a = v0．
加速度。at = dv/dt
当t = 0时，at = 0，所以b = 0．
速度方程为。
由于v = dx/dt，所以。
当t = 0时，x = 0，所以c = 0，所以位移方程为。
16.12 如图所示的圆面积内，匀强磁场b的方向垂直于圆面积向里，圆半径r = 12cm，db/dt = 10-2t·s-1．求图中a、b、c三点的涡旋电场为多少（b为圆心）？设ab = 10cm，bc = 15cm．
解答]（1）当点在磁场之中时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环中，其周长为
c = 2πr，面积为 s = r2．
取环路的逆时针方向为正，根据右手螺旋法则，面积的法向方向垂直纸面向外。
根据安培环路定理。
由于磁场增加，其变化率的方向与磁场方向相同，而感应电流的磁场与磁场增加的方向的方向相反，即垂直纸面向里，根据右手螺旋法则，涡旋电场的方向与环路方向相同，所以左边等于。
而磁感应强度的方向与面积的法向方向相反，所以右边等于。
因此涡旋电场为。
对于a点，由于r = 0.1m，所以。
ek = 0.1×0.01/2 = 5×10-4(v·m-1)．
对于b点，由于r = 0，所以ek = 0．
2）当点在磁场之外时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环路．根据安培环路定理，左边的积分仍然为ek2πr．由于半径r之外的磁感应强度及其变化率为零，所以右边的大小为πr2db/dt，因此涡旋电场为
对于c点，由于r = 0.15m，r = 0.12m，所以。
ek = 0.12)2×0.01/2×0.15 = 4.8×10-4(v·m-1）．
16.13 两个共轴的导体圆筒称为电缆，其内、外半径分别为r1和r2，设电流由内筒流入，外筒流出，求长为l的一段电缆的自感系数（提示：按定义l = nφ/i，本题中nφ是图中阴影部分面积的磁通量）．
解答]在内外半径之间，磁感应强度的大小为b = 0i/2πr，其中r是场点到轴线之间的距离，b的方向是以轴线为中心的同心圆．
在r处取一长为l的面积元ds = ldr，通过面积元的磁通量为 dφ =bds，总磁通量为。
电缆的自感系数为。
讨论]电缆单位长度的自感系数为。
16.14 两个共轴圆线圈，半径分别为r和r，匝数分别为n1和n2，两者相距l．设小线圈的半径很小，小线圈处的磁场近似地可视为均匀，求两线圈的互感系数．
解答]设大线圈中通以电流i1，n1匝线圈形成的环电流在轴线上产生的磁感应强度为。
小线圈的面积为 s = r2，大线圈通过一匝小线圈的磁通量为，在小线圈中产生的全磁通为
互感系数为。
讨论]当两线圈相距很远时，l>>r，互感系数约为。
16.15两个共轴的长直螺线管长为l，半径分别为r1和r2，设r2 > r1；匝数分别为n1和n2．求两螺线管的互感系数．
解答]设大螺线管中通以电流i2，在轴线上产生的磁感应强度为。
b = 0n2i2 = 0n2i2/l．
小螺线管的面积为 s = r12，大螺线圈通过一匝小螺线管的磁通量为。
= bs = 0n2i2r12/l，在小线圈中产生的全磁通为。
12 = n1φ =0n1n2i2r12/l，互感系数为。
m = 12/i2 = 0n1n2r12/l．
16.16 一圆形线圈c1由50匝表面绝缘的细导线密绕而成，圆面积s = 2cm2，将c1放在一个半径r = 20cm的大圆线圈c2的中心，两线圈共轴，c2线圈为100匝．求：
1）两线圈的互感m；
2）c2线圈中的电流以50a·s-1的速率减少时，c1中的感应电动势为多少？
解答](1)设大线圈中通以电流i2，n2匝线圈形成的环电流在圆心产生的磁感应强度为。
b = 0n2i2/2r，小线圈中的全磁通为。
φ12 = n1bs =μ0n1n2i2s/2r，互感系数为。
m = 12/i2 = 0n1n2s/2r
4π×10-7×50×100×2×10-4/2×0.2=10-6π(h)．
2) c1中的感应电动势的大小为。
= mdi2/dt = 10-6π×50 = 5×10-5π(v)．
16.17 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c（如图），当矩形线圈中通有电流i = i0sinωt时，求直导线中的感应电动势．
解答]如果在直导线中通以稳恒电流i，在距离为r处产生的磁感应强度为。
b = 0i/2πr．
在矩形线圈中取一面积元ds = bdr，通过线圈的磁通量为。
互感系数为。
当线圈中通以交变电流i = i0sinωt时，直导线中的感应电动势大小为。
16.18 在长圆柱形的纸筒上绕有两个线圈1和2，每个线圈的自感都是0.01h，如图所示．求：
1）线圈1的a端和线圈2的a`端相接时，b和b`之间的自感l为多少？
2）线圈1的b端和线圈2的a`端相接时，a和b`之间的自感l为多少？
解答]（1）当线圈1的a端和线圈2的a`端相接时，在b和b`之间通以电流i，两个线圈产生的磁场方向相反，由于两个线圈是相同的，总磁场b = 0，所以磁场能量为零，自感l也为零．
2）当线圈1的b端和线圈2的a`端相接时，在a和b`之间通以电流i，两个线圈产生的磁场方向相同，由于两个线圈是相同的，总磁场为b = b1 + b2 = 2b1，磁场的能量为。
自感系数为。
0.04(h)．
16.19两个线圈的自感分别为l1和l2，，它们之间的互感为m．将两个线圈顺串联，如图a所示，求1和4之间的互感；（2）将两线圈反串联，如图b所示，求1和3之间的自感．
解答]两个线圈串联时，通以电流i之后，总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的矢量和b = b1 + b2，磁场的能量为。
1）当两个线圈顺串时，两磁场的方向相同，θ 0，所以。
自感系数为。
2）当两个线圈反串时，两磁场的方向相反，θ 所以。
自感系数为。
16.20 两个共轴的螺线管a和b完全耦合，a管的自感系数l1 = 4.0×10-3h，通有电流i1 = 2a，b管的自感l2 = 9×10-3h，通有电流i2 = 4a．求两线圈内储存的总磁能．
解答]a管储存的自能为。
b管储存的自能为
由于两线圈完全耦合，互感系数为。
a管和b管储存的相互作用能为。
wm12 = mi1i2 = 6×10-3×2×4 = 48×10-3(j)，两线圈储存的总能量为。
wm = wm1 + wm2 + wm12 = 0.128(j)．
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