《大学物理aii》作业 no.8 量子力学基础
班级学号姓名成绩 __
一、判断题：（用“t”和“f”表示）
f ] 1．根据德存布罗意假设，只有微观粒子才有波动性。
解：教材188页表16.1.
1，宏观物体也有波动性，不过是其物质波波长太小了，所以其波动性就难以显示出来，而微观粒子的物质波波长可以与这些例子本身的大小相比拟，因此在原子大小的范围内将突出表现其波动性。
f ] 2．微观粒子的波粒二象性就是经典理论中波和粒子的简单统一。
解：微观粒子的波粒二象性不是经典理论中波和粒子的简单统一。
f ] 3．不确定关系表明描述微观粒子与经典力学对应的力学量是测不准的。
解：教材202页，不确定关系是微观粒子波粒二象性本质的反映，是微观世界固有的规律，它并不是来自实验原理的不完美或实验测量的不精确。无论如何，坐标和动量，能量和时间对于微观粒子仍然是不能同时准确测量的。
f ] 4．描述微观粒子运动状态的波函数在空间中可以不满足波函数的标准条件。
解：教材208页，波函数必须是单值、有限、连续的函数，只有满足这些标准条件的波函数才有物理意义。
f ] 5．定态薛定谔方程就是波函数中不能含时间因子的偏微分方程。
解：波函数本身就是空间和时间的函数（p208），若粒子所在势场的势能不随时间变化时，相应建立的薛定谔方程叫做定态薛定谔方程（p209）。利用定态薛定谔方程求解的波函数中仍然应有时间因子。
也就是说波函数中是否含有时间因子和是否为定态薛定谔方程并不是一回事。
二、选择题：
1. 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长与速度v有如下关系：
c ] a) (b) (c) (d)
解：由德布罗意公式和相对论质 — 速公式
得，即。2. 不确定关系式表示在x方向上
d ] a) 粒子位置不能确定b) 粒子动量不能确定。
c) 粒子位置和动量都不能确定 (d) 粒子位置和动量不能同时确定。
3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大d倍，则粒子在空间的分布概率将。
d ] a) 增大倍b) 增大2d倍。
c) 增大d倍d) 不变。
4. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：
那么粒子在处出现的概率密度为。
a解：概率密度
将代入上式，得
5. 波长 = 5000 的光沿x轴正方向传播，若光的波长的不确定量=10，则利用不确定关系可得光子的x坐标的不确定量至少为：
c ] a) 25cmb）50cmc) 250cmd) 500cm
解：由公式=知， △
利用不确定关系，可得光子的x坐标满足。
250cm三、填空题：
1. 低速运动的质子和粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比1:1 ；动能之比 4:1 。
解：由=知，动量只与有关，所以；
由非相对论动能公式，且，所以。
2. 在b = 1.25×10t的匀强磁场中沿半径为r =1.
66cm的圆轨道运动的粒子的德布罗意波长是 0.1 。(普朗克常量h = 6.
63×10-34js ,基本电荷e = 1.6×10-19c)
解：由牛顿第二定律得，又由=得。
3. 若令(称为电子的康普顿波长，其中m为电子静止质量，c为光速，h为普朗克常量)。当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长是= 。
解：由题意所以。
又。所以有。
4. 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a = 0.1nm (1nm =10-9m), 电子束垂直射在单缝上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量（或）。
普朗克常量h = 6.63×10-34js)
解：根据，得 (ns)
若用公式，则可得 (ns)
5. 德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是德布罗意波是概率波，波函数不表示某实在物理量在空间的波动，其振幅无实在的物理意义。
四、计算题：
1. 质量为m的电子被电势差为的电场加速，如果考虑相对论效应，试计算其德布罗意波的波长。若不用相对论计算，则相对误差是多少？
(电子静止质量m= 9.11×10-31kg, 普朗克常量h = 6.63×10-34js)
解：用相对论关系1)
由以上三式可得(m)
若不考虑相对效应，；，
相对误差 2．一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量，试求此粒子的位置不确定量与它的德布罗意波长的关系。(已知：不确定关系式)
解：由得1)
由题意，及德布罗意波长公式得。
比较(1)、(2)式，得到。
3．一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间，如图所示。描写粒子状态的波函数为，其中c为待定常量。求在区间发现该粒子的概率。
解：由归一化条件，即，可以解出，
区间发现粒子的概率为。
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